$p^t$ divide $C(n,p^r)$ , $p^{t+1}$ no

Question

Me cuesta ver por qué esto (se afirma como obvio en una demostración del primer teorema de Sylow): si $n=mp^r$ ( $p$ es primo), y $p^t\mid m$ pero $p^{t+1}\nmid m$ entonces $p^t\mid\binom{n}{p^r}$ pero $p^{t+1}\nmid\binom{n}{p^r}$ .

También me pregunto si se puede dar una prueba combinatoria de este hecho.

Gracias de antemano por cualquier ayuda prestada.

Answer 1

Si ampliamos ${ mp^r \choose p^r }$ de la forma habitual obtenemos

$${ mp^r \choose p^r } = m \prod_{k=1}^{p^r-1} \frac{mp^r-k}{p^r-k}$$

y puesto que $mp^r -k= (m-1)p^r + (p^r-k)$ el poder de $p$ dividiendo $mp^r-k$ es igual a la potencia de $p$ dividiendo $p^r-k.$ De ahí los poderes de $p$ en el numerador y denominador del producto anterior se cancelan, lo que nos da el resultado debido a la $m$ antes del signo del producto.

Answer 2

Es la misma idea que I.N.Herstein utiliza para demostrar el Primer Teorema de Sylow. Así que le recomiendo que eche un vistazo a su, Temas de álgebra libro, Sec 2.12, Teoría de grupos, Página 92

Answer 3

Como otros han mencionado, esto se deduce fácilmente por alineación los factores numerador y denominador modulo $\rm\ p^r \ $ para obtener la máxima cancelación de potencias de $\rm\:p\:.\:$ Se trata de un caso especial del sencillo método aritmético que describí en mi publicar aquí para demostrar que los coeficientes binomiales son enteros. Véase también esta ejemplo sencillo para la motivación. Creo que la idea conceptual clave te quedará más clara después de estudiar estos otros ejemplos.