Encuentra la longitud lateral del triángulo ABC;

Question

Vamos a ABC ser un triángulo equilátero, y sea P un punto en el interior del triángulo. Dado que PA = 3, PB = 4, y PC = 5, hallar la longitud lateral de ABC.

Relativamente simple problema creo, pero no puedo conseguir la forma correcta de resolver esto. Por favor, nada de lujo shmancy que implican gráficos o quién sabe qué. Yo debería ser capaz de resolver este con bastante trigonometría básica.

un par de pensamientos que puede estar equivocado, pero la gente de aquí me piden que me proporcionan mis propios pensamientos primero: A primera vista pensé Ley de los Cosenos podría ayudar, pero no me van mucho los lugares con él. No he oficialmente aprendido trigonométricas, así que yo no soy muy bueno en esto.

Answer 1

Si bien sé que pediste "nada de lujosa shmancy", creo que una rotación debería estar bien ...

Gire el triángulo 60 grados alrededor de$A$ para que el vértice$C$ gire a vértice$B$, y permita que$P'$ sea la imagen de$P$ debajo de la rotación. Entonces$P'A=3$, y$\angle PAP' = 60^{\circ}$, entonces$\triangle PAP'$ es equilátero, y$PP'=3$. Además,$P'B=5$ y$PB=4$, por lo que$\triangle P'PB$ es un triángulo 3-4-5 y$\angle P'PB = 90^{\circ}$. Esto debería decirle que$\angle APB=150^{\circ}$. Tomar desde allí...

Answer 2

Sugerencia: permita que$P=(0,0)$ sea el origen. Sabemos que A , B y C son puntos situados en círculos centrados en P , de radios$3$,$4$ y$5$, respectivamente. Dejar $A=(3,0)$. Debemos determinar el valor de los ángulos$\beta$ y$\gamma$, de modo que$B=(4\cos\beta,~4\sin\beta)$ y$C=(5\cos\gamma,~5\sin\gamma)$ formen un triángulo equilátero con A.