¿Puede aplicar el concepto de extensiones de campo igualmente bien a UFDs?

Question

En pocas palabras, una extensión de campo es donde se toma un polinomio $p(x)$ que es irreducible en algún campo $F$, a continuación, defina $\alpha$ como una raíz de $p$, a continuación, agregue $\alpha$$F$, a continuación, agregue el número mínimo de elementos adicionales a $f$ a mantener su estructura de campo.

Puede que esto todavía se puede hacer si $F$ es simplemente una unidad flash usb en lugar de un campo? Hace algo fundamental romper en la construcción de un "flash usb de extensión" que pasa a través de una extensión de campo? Si no, ¿por qué la gente hablar sobre campo de extensiones cuando "UFD extensión" parece más general?

Answer 1

Dado un anillo $R$ y un % polinomio irreducible $p(x)\in R[x]$, puede construir el anillo $R[\alpha]$ de la misma manera como lo haría con una extensión de campo de formulario $F(\alpha)$, es decir, $R[\alpha]\cong R[x]/(p(x)).$

Incluso si $R$ es una UFD, no hay ninguna garantía de que $R[\alpha]$ será una UFD. Por ejemplo, tomar $R=\mathbb{Z}$ y $p(x) = x^2+5$. Entonces el anillo resultante es $\mathbb{Z}[i\sqrt{5}]$, que no es una UFD: en este anillo, $6$ factores como ambos $2\cdot 3$ $(1+i\sqrt{5})(1-i\sqrt{5})$.

Answer 2

Un ejemplo simple de una extensión no UFD de una UFD es $\, \Bbb Z \subset R =\Bbb Z[x^2,x^3] \subset \Bbb Z[x].\,$ $\,x\not\in R\,$ ambos $\,x^2,\, x^3$ son irreductibles, pero no ceba. De hecho, el % de factorización $\, (x^2)^3! = (x^3)^2$no es único.