La divergencia en las series QCD ¿Cuántas son y qué significan?

Question

Me refiero a esta pregunta y especialmente esta respuesta .

Además, la QCD tiene -como todas las teorías de campo- sólo una serie de perturbaciones asintótica asintótica de perturbaciones, lo que significa que la propia serie también diverge si se suman todos los términos.

¿Qué significa? Por lo que sé, si la suma sobre una serie diverge, eso significa que la suma no funciona, lo que significa que la cantidad que estás intentando calcular, no puedes obtener respuesta para eso, ya que cualquier cantidad que salga de tu cálculo debe ser de valor finito.

Pero en QCD y QED las cosas parecen mucho más complicadas, ya que se permiten algunas divergencias :

Esto no significa que la teoría de perturbaciones QCD no tenga divergencias ultravioletas, las tiene como cualquier otra teoría de campo teoría de campos interactivos en 4d. Sin embargo, estas divergencias ultravioletas no son un signo de un problema con la teoría, ya que la definición de la red funciona bien. Esto contrasta con, por ejemplo, la QED, donde la el límite de la separación de celosía corta requiere que el acoplamiento desnudo explote, y es probable que la teoría explote hasta un acoplamiento infinito a alguna distancia pequeña pero finita. Esto es ciertamente lo que ocurre en la teoría de campos interactivos más sencilla, el escalar autointeractivo escalar

Mis preguntas:

1. ¿Cuántos tipos de divergencia hay en QCD y QED?
2. ¿Y cómo sabemos qué tipo de divergencia es aceptable (en el sentido de que todavía podemos extraer valores para la predicción después de algún proceso de renormalización)?
3. Si la suma diverge, entonces no podremos calcular la suma de la serie. ¿No es eso un obstáculo para el propósito de la serie? Para cualquier serie, si la suma diverge después de sumar todos los términos, entonces sabemos que la fórmula debe ser incorrecta o que la serie no tiene significado físico. Pero, ¿por qué en el caso de las series QCD, la fórmula sigue siendo correcta (porque se utiliza para extraer las constantes de acoplamiento) y tiene un significado físico (las series QCD deben corresponder a algo en la realidad)?
4. El hecho de que la QCD tenga series no convergentes significa que no puede ser la teoría fundamental de la naturaleza, ¿verdad?

Answer 1

Permítanme comenzar con la QED. Posteriormente conectaré con la QCD. Hay 4 tipos de divergencia en QED:

1. Divergencias ultravioletas. Los cálculos ingenuos dependen del corte de tal manera que van al infinito como lo hace el corte. Sin embargo, la QED es una teoría renormalizable perturbativamente, de modo que los cálculos no ingenuos y bien hechos (véase regularización y renormalización ) dan resultados razonables.

2. Poste de Landau . La constante de acoplamiento $\alpha={e^2\over \hbar \, c}$ que es el parámetro de expansión en la serie perturbativa, crece con la energía y va al infinito para un valor finito de la energía. Resulta que este valor finito de la energía es mayor que la escala electrodébil, donde la QED se fusiona con la interacción débil y la QED ya no es una buena teoría de la naturaleza. Por lo tanto, no es un problema real (fenomenológico).

3. Divergencias infrarrojas . Esto se debe a que los fotones no tienen masa. Sin embargo, se anulan una vez que se tienen en cuenta todos los efectos que contribuyen a un observable medible.

4. Serie no convergente. El $n$ -El término número 1 de la expansión perturbadora es de la forma $\left({\alpha\over 2\pi}\right)^{n}\, (2n-1)!!$ para que la serie no sea convergente sino asintótica porque el factor $(2n-1)!!$ crece muy rápido para valores grandes de $n$ . Esto significa que no podemos dar una definición no-perturbativa de la QFT sumando todos los términos de la serie. Sin embargo, los primeros términos son significativos y realmente dan predicciones que coinciden exactamente con las observaciones. Los "primeros términos" son aproximadamente $n\sim {\pi\over \alpha}\sim 430$ . Y para este valor de $n$ , $\left({\alpha\over 2\pi}\right)^{n}\, (2n-1)!!\sim 10^{-187}$ . Por lo tanto, mientras no nos interese una precisión de una parte en $10^{187}$ Tampoco es un problema real. Obsérvese que la QED es la teoría de la naturaleza que ha sido confirmada con mayor precisión - una parte en $10^{9}$ en el dipolo magnético anómalo del electrón, para el que $n=4$ .

Para la QCD, los puntos 1, 3 y 4 son más o menos los mismos. Sin embargo, el punto 2 no se aplica ya que en la QCD la constante de acoplamiento $\alpha_s$ disminuye con el aumento de la energía, y de hecho va a cero cuando la energía llega al infinito. Véase libertad asintótica .

En resumen, las divergencias en el infrarrojo se deben a que no se tienen en cuenta los efectos que contribuyen a la magnitud observable. La naturaleza asintótica de las expansiones perturbativas de QFT impide una definición no perturbativa (exacta) de la teoría (a través de sus series), pero no supone un problema práctico a la hora de comparar las predicciones con las mediciones. La ausencia de divergencias perturbativas y de polos tipo Landau es una condición necesaria para que una teoría esté bien definida a energías arbitrariamente altas. Sin embargo, las teorías que contienen estas divergencias (polos ultravioleta o de tipo Landau) pueden seguir siendo muy útiles a energías superiores a cierta escala. Por otro lado, las teorías sin estas divergencias (polos ultravioleta o tipo Landau), como la QCD, no tienen por qué ser válidas a todas las energías como teorías de la naturaleza.

Como señala M. Brown en los comentarios, existe una relación entre los instantones y los renormalones y la naturaleza asintótica de las series. Por favor, vea estos notas y las preguntas Instantones y Amplitudes no Perturbativas en la Gravedad y Asintoticidad de la expansión pertubativa de la QFT

Respuesta al comentario de Graviton: En mi opinión, una teoría fundamental de la naturaleza (signifique lo que signifique) debería tener una definición no-perturbativa. Si la expansión perturbativa no es convergente, no puede proporcionar esta definición no perturbativa. Sin embargo, en principio, esto no significa necesariamente que la teoría no pueda tener una definición no perturbativa o una solución exacta, sino que ésta debe ser dada por otros medios.