Para un morfismo plano finito sobreyectiva de variedades suave $f : X \rightarrow Y$ tenemos el diferencial functor $f_ : \mathcal{S}h (X) \rightarrow \mathcal{S}h (Y)$ y su adjoint izquierdo $f^ : \mathcal{S}h (Y) \rightarrow \mathcal{S}h (X)$ $\mathcal{O}_X$-módulos y haces coherentes de $\mathcal{O}_Y$-módulos. ¿Es cierto que $f^*$ es un Funtor fiel? No parece obvio para mí... No me importa si es completo o no. ¡Gracias!
Respuesta
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Si $f : X \to Y$ es un plano y sobreyectiva, es decir, fielmente plano morfismo, $f^ : \mathsf{Qcoh}(Y) \to \mathsf{Qcoh}(X)$ es fiel. De hecho, es exacta ya que $f$ es plana, por lo que queda por probar $f^ M = 0 \Rightarrow M = 0$. Pero esto puede controlarse localmente y es una de las conocidas caracterizaciones de homomorphisms del anillo fielmente plano: $A \to B$ es fielmente plano iff es plana y $M \otimes_A B = 0 \Rightarrow M=0$.
