Hallar el número de funciones analíticas que desaparecen sólo en un conjunto dado.

Question

Sea $S = \{0\}\cup \{\frac{1}{4n+7} : n =1,2\ldots\}$ . Cómo hallar el número de funciones analíticas que desaparecen sólo en $S$ ?

Las opciones son

a: $\infty$

b: $0$

c: $1$

d: $2$

Answer 1

En primer lugar me gustaría decir que los ceros de la función analítica son puntos aislados.Teorema de la identidad o En algunos libros teorema de unicidad dice que: $f$ sea analítica en un dominio $D$ Si el conjunto de ceros tiene un punto límite en el dominio $D$ entonces $f\equiv 0$ . En su caso $D=\mathbb{C}$ y conjunto de ceros= $S$ (como ya ha definido en su pregunta),Observe que $S$ tiene un punto límite $0\in S$ por lo que el teorema de la unicidad dice que sólo todas las funciones analíticas que tienen conjunto cero como $S$ debe ser $\equiv 0$ función