¿Es $\frac{\partial}{\partial x_1}=\frac{\partial}{\partial y_1}$ $x_1=y_1$?

Question

Que $M$ ser un colector, $p\in M$ y $(U,\varphi=(x_1,\dots,x_n))$, $(V,\psi=(y_1,\dots,y_n))$ dos locales tales cartas que $p\in U\cap V$ y $x_1=y_1$. ¿Es verdad que el $(\frac{\partial}{\partial x_1})_p=(\frac{\partial}{\partial y_1})_p$?

Mi profesor dice que la respuesta es sí, y así construir una prueba. Pero luego encontré el siguiente contraejemplo:

Que $M=\mathbb{R}^2$, $p=(0,0)$, $U=V=\mathbb{R}^2$, $\varphi(u,v)=(u,v)$ y $\psi(u,v)=(u,u+v)$. $x_1(y_1,y_2)=y_1$ Y $x_2(y_1,y_2)=y_2-y_1$. Utilizando la fórmula para el cambio de base que tengo

$$(\frac{\partial}{\partial y_1})p=\sum{i=1}^2(\frac{\partial x_i}{\partial y_1})_p(\frac{\partial}{\partial x_i})_p=(\frac{\partial}{\partial x_2})_p-(\frac{\partial}{\partial x_1})_p\neq (\frac{\partial}{\partial x_1})_p$$

¿Qué ocurre con este contraejemplo?

Answer 1

Creo que la respuesta es no. Allí No es nada malo con su ejemplo. Hay un montón de ejemplos en los que esto puede suceder, de hecho este es $\textbf{warned}$ en texto estándar en la geometría diferencial e.g $\textbf{Lee's Smooth Manifold}$ página 65, por considerar las coordenadas $(x,y)$ $(\tilde{x},\tilde{y})$ $\mathbb{R}^2$ relacionadas por $$ \tilde{x} = x, \qquad \tilde{y} = y+x^3 $$ Evaluar en $p=(x,y)=(1,0) \in \mathbb{R}^2$ le da $$ \frac{\partial}{\partial x}\Big|_p \neq \frac{\partial}{\partial \tilde{x}}\Big|_p. $$ Que se nos diga que $\frac{\partial}{\partial x^i}\Big|_p$ depende de la totalidad del sistema de coordenadas, no sólo a $x^i$.

Answer 2

Se han re-descubierto una confusión con la notación de Leibniz $$\frac{\partial u}{\partial x}$$ which has caught students for years. The answer depends not only on the variable $x$, but also on what the other variables are. So if you change the other variables, the value of $\frac{\partial u}{\partial x}$ could change, even if $x$ estancias de la misma.

Esperemos que los matemáticos son conscientes de esto y evitar el problema. Pero los estudiantes, así como a los usuarios de las matemáticas (tales como los físicos e ingenieros), a veces hacer tales errores garrafales.

Añadido: El estándar de los cambios de coordenadas fijo para que este problema no viene de arriba. Por ejemplo, el cambio entre coordenadas cartesianas $(x,y,z)$ y coordenadas cilíndricas $(r,\theta, z)$. Aquí, las coordenadas $(r,\theta,z)$ son ortogonales en el $(x,y,z)$ sistema de coordenadas (y viceversa), por lo que $$ \frac{\partial u}{\partial z} $$ es el mismo para ambos sistemas de coordenadas. Reto: Intenta probar esto, como un ejercicio para ver que usted entiende.

Answer 3

Ambas variables pueden ser reducidos a la misma función germen en la intersección de la gráfica, por lo que los Miembros de la doble espacio en el tangentialmanifold hacer coincidir. En la terminología de la función de germen de acuerdo con p en M , significa que las funciones están en la misma función, germen de la equivalencia de la clase si ellos coinciden en un Entorno de este punto. Así que [x1]=[y1] como función de los gérmenes y de acuerdo a la definición de los duales en Tangenspace hacer coincidir. No hay necesidad de un gráfico de transformación más debido al hecho de que las funciones son diferentes en el medio Ambiente equivalente en la intersección de dos conjuntos U y V.