¿Hay un grupo numerable muchos subgrupos, pero no es contable en ZF?

Question

Inspirado por esta pregunta, aunque creo que no era el OP de la intención, por lo tanto, esta pregunta aparte:

Hay un grupo de $G$ con countably muchos subgrupos, pero no es un contable propio grupo en $\mathrm{ZF}$?

En $\mathrm{ZFC}$ podemos observar en la cíclico subgrupos de $G$ y "estimar" el número de elementos en el grupo, a la conclusión de que la $G$ es contable. Pero este termina por no ir a través de en $\mathrm{ZF}$ desde una contables de la unión finita de conjuntos no tiene que ser contables, en particular, se sabe que una contables de la unión de dos elementos y conjuntos no tiene que ser contable.

Por lo que un posible camino para la construcción de un innumerable grupo (aunque yo no estoy diciendo que este es un buen camino a seguir, no tengo ni idea), empieza con una colección de $\{ A_i \mid i \in \mathbb{N} \}$ donde $A_i$ son parejas, cuya unión no es un contable, establezca y tenga en cuenta que cada una de torsión libre cíclico grupo tiene dos naturales de los generadores, por lo que posiblemente podría ser una torsión de grupo libre con $A_i$ natural electrógenos para cíclica de los grupos ("$1,-1$"pero no podemos definir una función de este tipo todos los $A_i$ sin el axioma de elección). A continuación, las construcciones tendría que asegurarse de que no sólo contables muchos subgrupos (esto parece difícil y tomaría mucho cuidado)

Un interesante papel "En el número de Russell calcetines o $2+2+2+\cdots = ?$" por Horst Herrlich, Eleftherios Tachtsis se analizan algunas de las ideas en torno contables de los sindicatos de pares.

Answer 1

Creo que la respuesta es sí, como sigue:

Empezar con un modelo de ZF+átomos, $M$, con un conjunto de átomos $A$ que forma un grupo isomorfo a $\mathbb{D}/\mathbb{Z}$ donde $\mathbb{D}$ es el conjunto de diádica fracciones: $\mathbb{D}=\{{p\over 2^k}: p, k\in\mathbb{Z}\}$. Deje $G$ el grupo de automorfismos de a $A$, y considerar la simétrica submodel $N$ $M$ correspondiente al filtro de finito apoya en $G$. A continuación, en $N$, $A$ ya no contables, ya que no son triviales automorfismos de a $\mathbb{D}/\mathbb{Z}$ fijación arbitraria de conjuntos finitos; pero la única subgrupos de $\mathbb{D}/\mathbb{Z}$, aparte de todo esto, son los de la forma $$\{x: 2^kx=0\}$$ for some fixed $k\in\mathbb{N}$. This provides an explicit bijection - in the original universe, $M$ - between the subgroups of $$ and $\omega$. Now, passing to $N$, we get no additional subgroups of $$, and the map described above is symmetric; so in $N$, $$ ha solo countably muchos subgrupos.

Mientras tanto, las declaraciones "$A$ es incontable" y "$A$ ha countably muchos finitely generado subgrupos" son cada "limitado", por lo que puede aplicar el Jech-Sochor el teorema de empuje de esta construcción en la ZF.