Unión de conjuntos no medibles

Question

Que $\mathcal{N}$ ser un Vitali no medibles en [0,1], y ${rk}{k=1}^{\infty}$ ser una enumeración de todos los racionales en [-1,1]. Considera la $$\mathcal{N}_k=\mathcal{N}+r_k.$$ My question is that, whether the union of all the $\mathcal{N}k$'s, $$\mathop{\cup}{k=1}^{\infty}\mathcal{N}_k$$ conjuntos medibles.

Answer 1

Edit: parece que esta respuesta no es correcta tal y como es. Ver los comentarios de abajo.

Supongo que se refieren a la Vitali conjunto de $[0,1]$ construido por la elección de un elemento de cada una de las clases de equivalencia de la relación definida en $[0,1]$ $$x\sim y\iff x-y\in\mathbb Q.$$

Deje $U=\bigcup_{k=1}^{\infty}\mathcal{N}_k$. Tomando $d=1$ en el Teorema declaró aquí, si podemos demostrar que el conjunto de diferencias $U-U$ contiene ningún intervalo, a continuación, $U$ tienen medida $0$ o no es mensurable.

Tome $x,y\in U$. Los conjuntos de $\mathcal{N}_k$ son distintos, por lo que hay dos casos:

• $x,y\in \mathcal{N}_k$: en este caso,$x=n_1+r_k$$y=n_2+r_k$, lo $x-y=n_1-n_2$,$n_1,n_2\in \mathcal{N}$, por la construcción de $\mathcal{N}$, $x-y\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$.
• $x\in \mathcal{N}_k$, $y\in\mathcal{N}_j$: en este caso,$x-y=(n_1-n_2)+(r_k-r_j)$, para algunas de las $n_1,n_2\in \mathcal{N}$. Si $x-y\in\mathbb{Q}$, entonces, como se puede ver, $n_1-n_2\in\mathbb{Q}$ y de nuevo por la construcción de $\mathcal{N}$ no puede ser.

Por lo tanto, el conjunto de $U-U$ sólo contiene números irracionales y, a continuación, puede no contiene intervalos.

Si $U$ tiene una medida de $0$ $\mathcal{N}_k$ demasiado, en ese caso $\mathcal{N}=\mathcal{N}_k-r_k$ tiene una medida de $0$, en particular, $\mathcal N$ es medible y que es contradictorio.

La única posibilidad es que el $U$ no es mensurable.

Answer 2

Deje $A=\mathop{\cup}_{k=1}^{\infty}\mathcal{N}_k$. Si a es medible, entonces $A_1=A\cap [-1,0]$ $A_2=A\cap [1,2]$ son tanto medibles. Deje $B_1=A_1+\{1\}$$B_2=A_2-\{1\}$, pretendemos que $$B_2=([0,1]\backslash B_1)\cup \mathcal{N}$$ and this is disjoint union, which implies that $B_1$ and $B_2$ can not both be measurable. So at least one of the sets $A_1$ and $A_2$ es no medible, lo cual es una contradicción.

La prueba de la reclamación：

1）Primero nos muestran que $[0,1]\backslash B_1$ $\mathcal{N}$ son disjuntas.

Si $x\in([0,1]\backslash B_1)\cap \mathcal{N}$, luego De que el hecho de que $x\in \mathcal{N}$ tenemos que $x-1\in A_1$$x=(x-1)+1\in B_1$, lo cual es una contradicción.

2) en Segundo lugar nos muestran que $B_2\subset([0,1]\backslash B_1)\cup \mathcal{N}.$

Si $x\in B_2$,$x+1\in A_2$, de modo que existe un número racional $0\leq r \leq 1$ tal que $x+1-r\in \mathcal{N}$. Si $r=1$,$x\in \mathcal{N}$. Si $r\neq 1$, luego $$x-1=(x+1-r)-(2-r)\notin A_1$$ since $2-r>1$, and so $x\in [0,1]\barra invertida B_2.$

3)Finalmente, hemos de probar que $([0,1]\backslash B_1)\cup \mathcal{N} \subset B_2.$

Si $x\in \mathcal{N}$$x+1\in A_2$$x\in B_2$. Si $x\in [0,1]\backslash B_1$ entonces existe un número racional $-2\leq r_k &lt-1$ tal que $x-1-r\in \mathcal{N}.$ tenga en cuenta que$x+1=(x-1-r)+(2+r)$$x+1 \in [1,2]$$x+1\in A_2$, lo que significa que $x\in B_2$.

Así la prueba de que la reclamación se haya completado y tenemos que $A$ es no medible.