QUÉ ES UNA

Question

Estoy estudiando la geometría algebraica desde el punto de vista clásico en el que la topología de Zariski toma el centro del escenario y planes aún no se han inventado. A veces veo el término "subvariedad cerrada" tirado por ahí, pero no puedo encontrar una definición adecuada para esto. Por ejemplo, en p.43 de J. S. Milne notas podemos encontrar:

La PROPOSICIÓN 2.27. Deje $V$ ser una irreductible variedad tal que $k[V]$ es una única factorización de dominio. Si $W\subseteq V$ es una subvariedad cerrada de dimensión$\mathrm{dim}(V)-1$, $I(W)$ es un director ideal.

(En este contexto, $I(W)$ significa que el conjunto de todos los polinomios que se desvanecen en $W$.)

No estoy muy seguro de lo que una subvariedad cerrada. No es cada variedad automáticamente cerrado?

Answer 1

Tal vez tu confusión radica en la diferencia entre conjuntos algebraicos, afín algebraicas variedades y variedades algebraicas. Por algebraicas conjuntos quiero decir que el cero conjuntos de polinomios, mientras que (afín) variedades se definen como los anillos de los espacios. Pero según el autor esto puede significar diferentes cosas.

Parece que estás usando una versión antigua de las notas de Milne. Yo recomendaría usted para cambiar a la versión más reciente (6.02) de las notas. Allí se empieza por definir los conjuntos algebraicos y más tarde se traslada a (afín) variedades algebraicas. En la página 68 es una definición de cerrado subvarities.