Aquí $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ es un disco cerrado centrado en $0$ con radio $r$ El libro que estoy leyendo asume la condición de contorno de Dirichlet en $\Omega$ y afirmando que el dual de $H^1_0(\Omega)$ es $H^{-1}(\Omega)$ . Entiendo el concepto de espacios de Sobolev en $\mathbb{R}^n$ o en variedades compactas sin límite. Sólo necesito un poco de ayuda con esta notación $H^1_0(\Omega)$ . Gracias.
PD: Básicamente, lo que me confunde es el cero del subíndice.
Como han dicho los comentaristas, el subíndice $0$ indica que es evanescente en la frontera en el sentido del espacio de Sobolev: es decir, puede ser aproximada en la norma de Sobolev por funciones suaves con soporte compacto en $\Omega$ .
La razón por la que utilizamos $H^1_0$ en lugar de $H^1$ en la definición de $H^{-1}$ se explica en El dual del espacio de Sobolev $W^{k,p}$ .
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Significa el espacio de $H^1(\Omega)$ funciones que son cero en la frontera. La formalización es un poco incómoda porque los elementos de $H^1$ no son realmente funciones sino clases de equivalencia "en casi todas partes", pero a efectos prácticos, sólo significa esto. es.wikipedia.org/wiki/Espacio de Solev#Trazas
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Para apoyar el comentario de @PeterFranek, este documento también define esta notación en la página 12: math.psu.edu/bressan/PSPDF/sobolev-notes.pdf