El siguiente problema es el ejercicio I. 6 de Bellman Programación Dinámica.
Considere el problema de maximización de la función de $$ F(x_{1} , \ldots , x_{N}) = \sum_{i = 1}^{n} \varphi(x_{i}), $$ sujeto a las restricciones $x_{i} \geq 0$$\displaystyle\sum_{i = 1}^{N} x_{i} = c$. Mostrar que si $\varphi$ es convexa, entonces el máximo es de $\varphi(c)$.
No creo que este problema es el correcto tal como está escrito. Considere el ejemplo con $n = 2$, $c = 1$ y $\varphi : \mathbf{R} \to \mathbf{R} : x \mapsto x^{2} + 1$. A continuación, $\varphi(c) = 2$, pero $x = (1,0)$ es factible y alcanza un valor objetivo de $F(1,0) = \varphi(1) + \varphi(0) = 2 + 1 = 3$, por lo que el máximo no es $\varphi(c)$.
¿Qué crees que el autor quería preguntar? Una modificación que he encontrado es la siguiente.
Considere el problema de minimización de la función $$ F(x_{1} , \ldots , x_{N}) = \sum_{i = 1}^{n} \varphi(x_{i}), $$ sujeto a las restricciones $x_{i} \geq 0$$\displaystyle\sum_{i = 1}^{N} x_{i} = c$. Mostrar que si $\varphi$ es convexa, entonces el máximo es de $n \varphi\left(\frac{c}{n}\right)$.
Puede alguien pensar en algo mejor? Mi problema pierde la simplicidad de la respuesta, $\varphi(c)$, y también el carácter de la maximización de una función convexa.