¿Proyectivo a afín?

Question

Tal vez una pregunta básica... ¿cómo funciona un estudio afín a la geometría algebraica a través de la geometría proyectiva? Por ejemplo, supongamos que tengo dos afín a las variedades que quiero probar son isomorfos, ayudaría a mirar el proyectiva cierres (suponiendo que yo no sé de ningún otro método para demostrar que son isomorfos)? ¿Cómo se hace para volver a la afín caso de la proyectivas de cierre (o "projectivization")? Lo siento si esto suena confuso.

Gracias, Morton

Edit: Gracias por las respuestas. Siendo nuevo en AG déjame intentar reformular mi dilema: parece Que la proyectiva configuración es la más conveniente para el estudio de AG, pero si quiero estudiar propiedades de los afín variedades, cómo se utilizan los resultados de variedades proyectivas en el afín caso? Sé que esto suena vago, pero es fundamental duda que tengo.

Answer 1

Creo que la pregunta plantea un punto válido.

Una muy fructífera enfoque afín problemas fue iniciado por Iitaka en los años 70, que es como sigue:

Supongamos $V$ es una variedad afín y $X$ es un projectivisation tal que $D=X-V$ es un divisor con simples normal cruces (SNC). Mira el divisor canónico $K:=K_X$ y el divisor $L:=K+D$$X$. Igual, la ahora clásica, la teoría de Kodaira y otros de análisis de la multicanonical sistemas de $nK$ de una variedad proyectiva, Iitaka propuesta para ver el $n(K+D)$ a venir para arriba con un tipo de clasificación para el par $(X,D)$ como se hace para variedades proyectivas. Por supuesto, el único éxito en la clasificación de las variedades hasta Iitaka del tiempo fue para curvas y Superficies (que también está disponible ahora para los de 3 pliegues), así que él y los demás se aplica esta idea de la no-compacto (en particular afín a) las superficies. A continuación voy a hablar sólo sobre superficies desde apropiado de la teoría, por 3-pliegues aún no ha sido trabajado (que yo sepa) y la curva caso es muy bien entendido y no presenta ninguna dificultad real, generalmente hablando.

Como una de Kodaira dimensión proyectiva de las superficies, se puede definir el logarítmica de Kodaira dimensión de la no-compacto superficies que es, por definición, la tasa de crecimiento de $n(K+D)$ $n$ varía con números enteros positivos. Este número, llamado $\bar\kappa$ puede tomar los valores de $-\infty,0,1,2$ (o hasta que la dimensión de la variedad, en el caso general). En esta etapa uno se demuestra un teorema que este número es independiente de la compactification $X$ elegido, mientras $D$ es de SNC. Esto hace que la teoría de empezar y tenemos un gadget perfecto para el estudio de la no-compacto (en particular afín a) las superficies. Todo el proyecto de la siguiente manera Kodaira de clasificación de la filosofía de que uno debe desarrollar suficiente de clasificación de teoremas para los distintos $\bar\kappa$ clases y por lo tanto (idealmente) respuesta "todas" las preguntas acerca de la no-compacto (o afín) variedades. Así que si usted quiere responder a una pregunta como "son dos afín variedades de $A,B$ isomorfos o no", entonces la primera cosa a tener en cuenta es su registro de Kodaira dimensiones. Si resultan ser diferentes, a continuación, hemos terminado. Si son el mismo, entonces tenemos que mirar más de cerca en ese $\bar\kappa$ clase y aplicar la clasificación adecuada teoremas disponible o formular y probar uno, para decidir.

Sin embargo, al igual que en el proyectiva caso, el tipo general de las superficies de difícil estudio y no siempre admite cualquier buena estructura como un fibration a través de una curva que podría haber ayudado en su estudio sistemático. Y, por lo general, el mayor éxito ha sido en el no de tipo general, los casos en que existe una clasificación detallada de las superficies. Dificultades similares se encuentran en las afín caso y el $\bar\kappa\leq{1}$ afín a las superficies son susceptibles de un estudio detallado. Por supuesto, hay algunos resultados importantes sobre el tipo general de las superficies que están en el espíritu de la misma como en el caso de la superficie de la geografía problema.

Para averiguar más acerca de estas cosas que uno puede mirar Iitaka del libro(GTM,76) y Miyanishi del libro.

Answer 2

Aquí está un ejemplo sencillo. Alguien me preguntó si la unidad de disco es una variedad afín. la respuesta es no. A ver por qué no, supongamos que sí, y tomar la proyectivas de cierre. a continuación, se obtiene una curva proyectiva que es un compacto de 2 dimensiones de la superficie con algunos puntos identificados, y que difiere de la original de la superficie a la mayoría de la adición de un número finito de puntos. Pero esto es imposible. No compacto de superficie puede ser reducido a un disco mediante la eliminación de un número finito de puntos, incluso topológicamente, excepto para la eliminación de un punto de P^1. Pero eso no da el disco por el teorema de Liouville.

Una más importante y generalizada ejemplo es el hecho de que en cada punto singular de una variedad afín, el cono tangente determina una variedad proyectiva. Así geometría proyectiva es el aspecto local de la geometría afín. Dicho de otra manera, la voladura de una variedad afín, en un punto de decir, introduce la geometría proyectiva en ella como una imagen de su infinitesimal de la estructura.

A veces se puede utilizar este truco para calcular el grado adecuado de un mapa de afín o de otras variedades, por la restricción para el comportamiento de la proyectiva normal paquete de una sola fibra. Ver, por ejemplo, Friedman - Smith (Inventiones, 67, (1982)), que calculan el grado de la prym mapa mostrando que un solo proyectiva de la fibra de la correcta prym mapa está incrustado en el espacio proyectivo por la derivada de la prym mapa que actúa sobre el paquete normal a la fibra.

Answer 3

La cosa más útil aquí para sus intereses probablemente sería de registro de la geometría, de lo que yo sé. En una formulación (Matsuki "Introducción a la Mori Programa" es mi referencia) se mira pares de $(X,D)$ donde $X$ es una variedad proyectiva y $D$ es un divisor de a $X$ con la normal de cruces. A continuación, mira la categoría de estos pares de llamada registro de parejas, y la geometría de la captura de una gran cantidad de la geometría de $X\setminus D$.

Aquí está el libro, consulte el capítulo 2, espero que ayude.

Answer 4

Variedades afines pueden tener un mismo cierre proyectivo. Por ejemplo, vea $P^1(C)$, $C$ es un subconjunto abierto afine, y $C-{0}$ también es un subconjunto abierto afine. Pero en cualquier caso, si dos variedades afines tienen un mismo cierre proyectivo, birracional.