Encontrar una función continua $f$ que satisface...

Question

Encontrar una función continua $f$ que satisface

$$ f (x) = 1 + \frac{1}{x}\int_1^x f (t) \ dt $

Nota: Traté de diferenciar con respecto a los $x$ para obtener una oda pero conseguir uno que contiene integrales - probablemente difíciles de resolver.

Answer 1

Indirecta: $xf(x) = x + \int_1^x f(t) \, dt $, excepto posiblemente en $x=0$.

Diferenciar esto para concluir que $f(x) = \ln x + C $.

Evalúan en $x=1$.

Answer 2

También se asume que el $f$ es diferenciable. Se nos da que $f(x)=1+\frac{1}{x} \int_1^xf(t)dt$. Multiplicar por $x$ vemos que el $$xf(x)=x+\int_1^xf(t)dt$ $ diferenciando, $$f(x)+xf'(x)=1+f(x)$$ reducir $f(x)$ entonces dividiendo por $x$,

$$f'(x)=\frac{1}{x}$$

Ahora, integrando obtenemos

$$f(x)=\ln(x)+C$$

Ahora hay que ocuparse de las condiciones iniciales. de la original de la condición que $f(1)=1$. So, $$f(1) = 1 =\ln(1)+C \implies C=1$$

Por lo tanto la función sólo continuo (+ diferenciable) que satisfaga la condición dada es %#% $ #%

Answer 3

$\displaystyle F(x) = \int_1^xf(t) dt$

Por lo tanto

$\displaystyle \frac{dF}{dx} = 1 + \frac{1}{x} F$

condición $F(1)=0$

Answer 4

Teniendo en cuenta que

$$f(x)=1+\frac{1}{x}\int_1^x f(t)dt$ $ Diferenciando ambos lados

$$ f'(x)=\frac{1}{x}f(x)-\frac{1}{x^2}\int_1^xf(t)dt$$ $\implies$

$$ f'(x)=\frac{1}{x}f(x)-\frac{1}{x}\left(\frac{1}{x}\int_1^xf(t)dt\right)$ $ Pero

$$\frac{1}{x}\int_1^x f(t)dt=f(x)-1$ $ Que $$f'(x)=\frac{f(x}{x}-\frac{1}{x}\left(f(x)-1\right)$$ $\implies$

$$f'(x)=\frac{1}{x} \implies f(x)=Ln(x)+c $$ Finally Use $f(1)=1$ to get the value of $c$