Módulos y submódulos máximas dimensión proyectiva

Question

Si $R$ es una izquierda noetherian anillo, entonces cada finitely generado izquierda $R$-módulo de $M$ es noetherian, y por lo tanto cada apropiado submódulo de $M$ está contenida en algunos máxima submódulo de $M$.

Es posible debilitar la hyphotesis? I. e. cuando se puede asegurar que a la izquierda (no-cero) $R$-módulo tiene una máxima submódulo?

Supongamos ahora que $R$ artinian anillo con identidad. Me preguntaba, por ejemplo, si era cierto que (no-cero) a la izquierda $R$-módulos de finito proyectivo de dimensión tiene algunos máxima submódulo. Si esta última afirmación no es verdadera, sería verdad si el anillo de la base era un Artin álgebra?

Estoy pidiendo a este intento de resolver el problema que he publicado en "Artinian anillos con cero finitistic dimensión" en todos los casos.

Answer 1

Creo que usted estaría interesado en los anillos sobre el que cada módulo tiene un máximo submódulo por Y. Hirano Comunicaciones en Álgebra Volumen 26, número 10, 1998.

Cuando H. Bass estaba investigando perfecto anillos, encontró que para un anillo perfecto derecho $R$, cada valor distinto de cero a la derecha $R$ módulo tiene una máxima submódulo, y que $R$ no contiene infinitos conjuntos ortogonales idempotents. Él conjeturó que lo contrario también puede ser cierto.

La conjetura resultó ser cierto para conmutativa anillos (Hamsher, citado en el documento mencionado), pero falso en general (Cozzens, Koifmann, también citado en el documento anterior).

Desde un derecho Artinian anillo no admite conjuntos infinitos de ortogonal idempotents, y es a la derecha (e izquierda) perfecto, tienes razón en que los módulos de derecho Artinian anillos máxima submódulos.