Demostrar que hay infinitamente muchos subsecuencias convergentes que no se superponen entre sí.

Question

Que $||$ un $n$-${2n}$$||$ $\leq$ $\frac{1}{2^n}$ para todo n $\geq$1. Demostrar que hay infinitamente muchos subsecuencias convergentes que no se superponen entre sí. un $_n$ $\in$R $^m$

Bueno, yo conozco un cauchy secuencia siempre conveges. existe un N tal que $||a_n - a_m|| \leq \epsilon $ para todo n, m > $N$

Todavía confundido cómo mostrar decir el subsequence {un $_{2^n}$} es de Cauchy.

Answer 1

Esto puede ayudar a tomar nota de lo que estamos haciendo, en lugar de dos cosas diferentes:

En primer lugar, sostenemos que no es convergente larga (el indexados por potencias de dos, para los que simplemente tenga en cuenta que $\sum_n \frac1{2^n}$ converge de manera que $a_1,a_2,a_4,a_8,a_{16},\dots$ es de hecho de Cauchy).

Segundo, se argumenta que el $\mathbb N$ (y, por tanto, cualquier conjunto infinito de índices, como el conjunto de potencias de dos) puede ser dividido en una infinidad de distintos conjuntos infinitos (para lo cual puede utilizar potencias de números primos, o lo que sea), cada uno dando lugar a una sub-larga (que por supuesto converge al mismo límite que el original subsequence de potencias de dos).

El punto es que estos dos pasos no tienen nada que ver el uno con el otro, pero, en conjunto, dan el resultado deseado.