La condición más débil en $f\colon \Bbb R^2\to \Bbb R$ para que $f(\|x\|_1,\|x\|_2)$ es una norma.

Question

$\newcommand{\norm}[1]{\|#1\|_1}\newcommand{\morm}[1]{\|#1\|_2}\newcommand{\xorm}[1]{\|#1\|_3}$

Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach de dimensión finita y $f\colon \Bbb R^2\to \Bbb R$ . ¿Cuál es la condición más débil en $f$ que garantiza que $\xorm{x}=f\big(\norm{x},\morm{x}\big)$ es una norma en $X$ para cualquier elección de normas $\norm{\cdot},\morm{\cdot}$ en $X$ ?

He encontrado los siguientes supuestos y me pregunto si es posible hacerlo mejor:

• $f(t,s)\geq 0$ con $\text{"$ = $"}\iff s=t=0$ .

• $f$ es positivamente uno homogéneo, $i.e. f(\lambda(s,t))=\lambda f(s,t)$ por cada $\lambda >0$ .

• $f(s+t,a+b)\leq f(s,a)+f(t,b)$ por cada $a,b,s,t>0$ .

De alguna manera, esto me recuerda la noción de sublinealidad.

EDITAR En realidad me di cuenta de que si $f$ satisface estas propiedades, entonces $f$ es una norma en $\{(s,t)\in\Bbb R^2\mid s,t>0\}\cup\{(0,0)\}$ . Ahora bien, ¿es necesaria esta condición?

Answer 1

Las condiciones no se pueden debilitar. Demostraremos que cada una es necesaria

1. Dejemos que $\left|\cdot\right|$ sea cualquier norma sobre $X$ y que $x\in X\setminus\left\{ 0\right\} $ . Al cambiar la escala, podemos lograr $\left|x\right|=1$ . Para cualquier $\alpha,\beta>0$ , tenemos que $\left\Vert \cdot\right\Vert _{1}:=\alpha\cdot\left|\cdot\right|$ y $\left\Vert \cdot\right\Vert _{2}:=\beta\cdot\left|\cdot\right|$ son normas sobre $X$ , por lo que debemos tener $$ 0<\left\Vert x\right\Vert _{3}=f\left(\left\Vert x\right\Vert _{1},\left\Vert x\right\Vert _{2}\right)=f\left(\alpha\left|x\right|,\beta\left|x\right|\right)=f\left(\alpha,\beta\right). $$ Al elegir $\alpha,\beta$ En consecuencia, vemos $f\left(t,s\right)>0$ para todos $t,s>0$ . Claramente, debemos tener $f\left(0,0\right)=0$ .

2. Con las mismas opciones anteriores, obtenemos $$ \lambda\cdot f\left(\alpha,\beta\right)=\lambda\cdot f\left(\alpha\left|x\right|,\beta\left|x\right|\right)=\lambda\left\Vert x\right\Vert _{3}=\left\Vert \lambda x\right\Vert _{3}=f\left(\left\Vert \lambda x\right\Vert _{1},\left\Vert \lambda x\right\Vert _{2}\right)=f\left(\lambda\alpha\left|x\right|,\lambda\beta\left|x\right|\right)=f\left(\lambda\left(\alpha,\beta\right)\right). $$ De nuevo, podemos elegir $\alpha,\beta>0$ adecuadamente para conseguir $\lambda\cdot f\left(s,t\right)=f\left(\lambda\left(s,t\right)\right)$ para todos $s,t>0$ y $\lambda>0$ .

3. En este caso, supondremos que $\dim\left(X\right)\geq2$ (de lo contrario, este condición probablemente no sea necesaria). Por lo tanto, existen casos linealmente independientes $x,y$ . Ampliar $\left(x,y\right)$ a una base $\left(x,y,z_{1},\dots,z_{k}\right)$ de $X$ y definir las normas $\left\Vert \cdot\right\Vert _{1},\left\Vert \cdot\right\Vert _{2}$ por \begin{eqnarray*} \left\Vert \left(x,y,z_{1},\dots,z_{k}\right)\left(\begin{matrix}v_{1}\\ v_{2}\\ \vdots\\ v_{k+2} \end{matrix} \derecha)\NVert _{1} & := & \N-alfa_{1}izquierda|v_{1}derecha|+beta_{1}izquierda|v_{2}derecha|+izquierda|v_{3}derecha|+puntos+izquierda|v_{k+2}derecha|,\N-derecha \left\Vert \left(x,y,z_{1},\dots,z_{k}\right)\left( \begin{matrix}v_{1}\\ v_{2}\\ \vdots\\ v_{k+2} \end{matrix} |derecha)\NVert _{2} & := & \Nalfa_{2}izquierda|v_{1}derecha|+beta_{2}izquierda|v_{2}derecha|+izquierda|v_{3}derecha|+puntos+izquierda|v_{k+2}derecha|, \fin para una $\alpha_{1},\alpha_{2},\beta_{1},\beta_{2}>0$ . Aquí, obtenemos \begin{eqnarray*} f\left(\left(\alpha_{1},\alpha_{2}\right)+\left(\beta_{1},\beta_{2}\right)\right) & = & f\left(\alpha_{1}+\beta_{1},\alpha_{2}+\beta_{2}\right)\\ & = & f\left(\left\Vert x+y\right\Vert _{1},\left\Vert x+y\right\Vert _{2}\right)\\ & = & \left\Vert x+y\right\Vert _{3}\\ & \leq & \left\Vert x\right\Vert _{3}+\left\Vert y\right\Vert _{3}\\ & = & f\left(\left\Vert x\right\Vert _{1},\left\Vert x\right\Vert _{2}\right)+f\left(\left\Vert y\right\Vert _{1},\left\Vert y\right\Vert _{2}\right)\\ & = & f\left(\alpha_{1},\alpha_{2}\right)+f\left(\beta_{1},\beta_{2}\right), \end{eqnarray*} que es la estimación deseada.