Sobre las limitaciones de la primera clase y la electrodinámica

Question

Consideremos una teoría en el formalismo hamiltoniano y supongamos que tiene restricciones entre variables canónicas $Q, \pi$ . Según la terminología de Dirac, el conjunto de restricciones $F_{a}(Q, \pi) \approx 0$ de la primera clase satisface las condiciones $\lbrace F_{a}, F_{b}\rbrace_{P} \approx 0$ mientras que el conjunto de restricciones de la segunda clase tiene corchetes de Poisson no nulos.

Tengamos casos de campos bosónicos masivos y sin masa con lagrangianos $$ L = -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} - \lambda m^{2} A^{2} , \quad \lambda_{EM} = 0, \quad \lambda_{massive} = 1. $$ Para el primer caso tenemos el conjunto de las restricciones de segunda clase (la segunda es falsa ecuación de movimiento para $A_{0}$ componente) $$ \pi^{0} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{0}A_{0})} \approx 0, \quad F(A_{0}, \pi^{i}, j_{0}) = -\Delta A_{0} - \partial_{i}\pi^{i} + m^{2}A_{0} \approx 0,\quad \lbrace \pi_{0}(\mathbf x ), F_{b}(\mathbf y)\rbrace_{P} = -m^{2}\delta (\mathbf x - \mathbf y), $$ mientras que para la segunda tenemos restricciones de primera clase: $$ \pi^{0} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{0}A_{0})} \approx 0, \quad F(A_{0}, \pi^{i}, j_{0}) = -\Delta A_{0} - \partial_{i}\pi^{i} \approx 0,\quad \lbrace \pi_{0}(\mathbf x ), F_{b}(\mathbf y)\rbrace_{P} \approx 0. $$ Por qué en el primer caso después de introducir el corchete de Dirac podemos hacer la igualdad las restricciones a cero estrictas (es decir, podemos expresar $A_{0}$ como función definida de los momentos canónicos y de la corriente), mientras que en el segundo caso la imposibilidad de introducir los corchetes de Dirac conduce a la imposibilidad de expresar $A_{0}$ a través de otras coordenadas canónicas? Es decir, cómo cambia la posibilidad de inctorucción de los corchetes de Dirac $\approx$ a $=$ ?

Answer 1

Comentario a la pregunta (v2):

Según la Ref. 1, el símbolo de igualdad débil $\approx$ suele significar la igualdad módulo todo limitaciones:

• principal , secundario, terciario, $\ldots$ , limitaciones.

• (o en la clasificación de Dirac) primero y restricciones de segunda clase.

Referencias:

1. M. Henneaux y C. Teitelboim, Cuantización de sistemas gauge, 1994; p. 13.

Answer 2

No estoy seguro de responder correctamente, pero si recuerdo, el uso del corchete de Dirac le permite deshacerse de las restricciones de segunda clase y tratar al final sólo con las restricciones de primera clase. Y todavía al final, se considera sólo la igualdad débil, no =.

Answer 3

La igualdad débil $f \approx 0$ significa que primero debemos evaluar todos los corchetes de Poisson de la teoría (las ecuaciones de movimiento, etc.) y sólo después podemos establecer $f$ a cero. Es porque el hamiltoniano no contiene información sobre las restricciones primarias (el buen ejemplo es la electrodinámica), y por tanto no contiene información sobre las restricciones secundarias.

Tal vez, he entendido la respuesta a la pregunta. Podemos reemplazar la igualdad débil en la fuerte si todos los corchetes dinámicos (corchete de Poisson en el principio) de la restricción con cualquier (!) otra función es igual a cero. Como se puede mostrar, si sustituimos hamiltoniano $H_{0}$ (que no consiste en información sobre las restricciones primarias $f_{i}$ ) a la $H = H_{0} + \lambda_{a}f_{a} \approx H_{0}$ entonces tendremos el corchete de Dirac para la evolución temporal de cada función. El corchete de Dirac de todas las restricciones de la segunda clase con una función arbitraria es igual a cero, por lo que si podemos introducir este corchete podemos poner a cero todas las restricciones de la segunda clase. Pero si quedan restricciones de la primera clase, debemos analizar nuestra teoría como teoría gauge, porque las restricciones de la primera clase siempre están conectadas con la invariancia bajo algunas transformaciones. Esto puede reducir nuestros grados de libertad.