¿Las condiciones de dos líneas rectas que se cruzan: está mal esta pregunta de examen?

Question

Estoy bastante seguro de que esta cuestión (a partir de un examen de prueba de admisión de Universidad) está mal.

Dos líneas: $a_1x+b_1y+c_1=0$, $a_2x+b_2y+c_2=0$, se cruzan sólo si

(a) $a_1a_2-b_1b_2=0\;\;\;$ (b) $a_1a_2-b_1b_2\ne0\;\;\;$(c) $a_1a_2-b_1b_2=1\;\;\;$ (d) $a_1a_2-b_1b_2\ne1$

Intento de solución:

\begin{matrix} a_1x+b_1y+c_1=0& \;\; &a_2x+b_2y+c_2=0 \\ y=-\frac{a_1x}{b_1}-\frac{c_1}{b_1}&\;\; & y=-\frac{a_2x}{b_2}-\frac{c_2}{b_2}\\ \end{matriz}

Si las líneas no son paralelas, siempre intersectará. En el caso de las líneas no paralelas $$m_1\ne m_2$ $ $$-\frac{a_1}{b_1}\ne-\frac{a_2}{b_2}$ $ $$ \require{cancel} \cancel{-}a_1b_2\ne\cancel{-}a_2b_1$$ $$a_1b_2-a_2b_1\ne0.$ $

Answer 1

Si dos líneas no se cruzan, es decir, que no tienen puntos en común, entonces el sistema de ecuaciones $$\begin{align*} a_1 x + b_1 y + c_1 &= 0 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 &= 0 \end{align*}$$ will have no solution for $(x,y)$. Thus, if we solve the system, we find $$x = \frac{b_1 c_2 - b_2 c_1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}, \quad y = \frac{a_2 c_1 - a_1 c_2}{a_1 b_2 - a_2 b_1}.$$ This solution does not exist or is indeterminate if $a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0$.

Sin embargo, un poco de cuidado se requiere: dos líneas coinciden si $$(a_1, b_1, c_1) = k(a_2, b_2, c_2)$$ for some nonzero scalar constant $k$, and in this case, both the numerators and denominator of the aforementioned solution are zero, meaning that there are infinitely many points that the two equations share in common. So while it is a sufficient condition for $a_1 b_2 - a_2 b_1 \ne 0$ implicar que las líneas se cruzan, no es estrictamente necesario condición, y por esa razón, la pregunta debería haber sido mejor enunciado diciendo "dos líneas...se cruzan si..." en lugar de "sólo si"; alternativamente, puede ser expresada "dos distintas líneas...se cruzan sólo si...."