Los Impíos Integral

Question

Un amigo de mi hermano me dio la siguiente malvado integral con un bello resultado

\begin{ecuación} {\Large\int_0^\infty} \frac{dx}{\sqrt{x} \bigg[x^2+\left(1+2\sqrt{2}\right)x+1\bigg] \bigg[1-x+x^2-x^3+\cdots+x^{50}\bigg]}={\large\left(\sqrt{2}-1\right)\pi} \end{ecuación}

Él afirmaba que la integral anterior se puede generalizar de la siguiente forma \begin{ecuación} {\Large\int_0^\infty} \frac{dx}{\sqrt{x} \bigg[x^2+ax+1\bigg] \bigg[1-x+x^2-x^3+\cdots+(-x)^{n}\bigg]}=\ldots \end{ecuación} Este es un problema difícil. Cómo probar y ¿cuál es la forma cerrada de la general integral?

Answer 1

De hecho, vamos a $$ I(n,a)=\int_0^\infty\frac{dx}{\sqrt{x}(1+ax+x^2)(\sum_{k=0}^n(-x)^k)} $$ El cambio de las variables $x\leftarrow 1/x$ rendimientos $$ I(n,a)=\int_0^\infty\frac{(-1)^nx^{n+1}dx}{ \sqrt{x}(1+ax+x^2)(\sum_{k=0}^n(-x)^k)} $$ Así $$ 2I(n,a)=\int_0^\infty\frac{1+x}{\sqrt{x}(1+ax+x^2)}dx= 2\int_0^\infty\frac{1+t^2}{ 1+a^2+t^4}dt $$ O, equivalentemente, la configuración de $u=t-1/t$, $$ I(n,a)= \int_{-\infty}^\infty\frac{du}{ 2+un+u^2} =\frac{\pi}{\sqrt{2+a}}. $$