Dinámica de Parámetros-Plano de los Puntos Fijos y sus Preimágenes para Conjuntos Julia Cuadráticos Estándar

Question

He estado usando Unity3d (los enlaces a los vídeos de YouTube que he hecho están al final del post) y aprovechando los sombreadores de píxeles para explorar (en tiempo real) los puntos fijos de el mapa cuadrático complejo :

$$z_{n+1}=z_n^2+c$$

para los valores de $c$ dada por una ecuación paramétrica $$c_r(t)=r(cos(t)+isin(t))=re^{it},t\in \Bbb{R^+},r\in [0,2]$$

El par de puntos fijos viene dado por $$z_0^*(c)=\frac{1\mp \sqrt{1-4c}}{2}, z_0^{*\alpha}(c)\equiv\frac{1-\sqrt{1-4c}}{2},z_0^{*\beta}(c)\equiv\frac{1+\sqrt{1-4c}}{2}$$ (Yo uso $\mp$ porque el punto fijo alfa es el negativo y el beta es el positivo).

He observado que los puntos fijos se transforman suavemente de su punto fijo "alfa" a su punto fijo "beta" equivalente (y viceversa) después de un $2\pi$ rotación de $c$ sobre el origen, esencialmente permutando las raíces. En general, mantengo $r=1$ y explorar el círculo de la unidad. Por lo tanto, puedo utilizar el conjunto Julia conocido como la "Basílica" correspondiente a $c=-1, (t=\pi)$ como conjunto estándar o punto de inicio/fin al observar la transformación de los puntos fijos a través de una rotación completa. Elijo este valor/conjunto en particular porque es más fácil (visualmente, creo) ver la relación de los 2 puntos fijos y sus preimágenes con las cuencas de atracción (al menos, cuando $J_c$ está conectado).

Por ejemplo, el punto fijo alfa (de $c=-1$ ) es el "pellizco" (etiquetado $Z_0^\alpha$ en la imagen) entre la cuenca de la raíz y la cuenca del periodo 2 a la izquierda igual a $$z_0^{*\alpha}(-1)=\frac{1-\sqrt{1-4(-1)}}{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

y el punto fijo beta es el extremo del conjunto en el eje real (etiquetado como $Z_0^{\beta}$ en la imagen y está más a la derecha) $$z_0^{*\beta}(-1)=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

y es básicamente un punto límite. Lo considero un punto límite en el sentido de que cae al final de una secuencia límite de cuencas, mientras que el punto fijo alfa es el punto entre los 2 más grande cuencas (Por razones de simetría izquierda-derecha, sólo se mira $\Re (z)<0$ ). El punto fijo beta parece ser el equivalente a un infinitesimal para los puntos fijos. Todos los demás puntos "pinzados" son preimágenes del punto fijo alfa (puntos etiquetados como $Z_n^\alpha$ en la imagen, y más) y todos los demás puntos límite al final de cada secuencia límite de cuencas son preimágenes del punto fijo beta (puntos etiquetados como $Z_n^\beta$ y más).

Así que cuando $t\to 2\pi n, n\in\Bbb{Z},n>0$ (una o más rotaciones completas de vuelta a $c=r,t=0\mod 2\pi$ ), $$\lim_{t\to2\pi n}z_0^{*\alpha}(c(t))=z_0^{*\beta}(c(0)), \lim_{t\to2\pi n}z_0^{*\beta}(c(t))=z_0^{*\alpha}(c(0))$$

pero hay una discontinuidad en la ecuación en $t=2\pi n,n>0$ donde los signos se voltean y $z^{*\alpha}$ y $z^{*\beta}$ volver a sus valores originales. Así que si estoy observando el punto fijo alfa y, justo en el momento del cambio de signo, paso a observar el punto fijo beta (y viceversa después de otro $2\pi$ ), se puede trazar una curva periódica continua (muy, muy cercana pero no exactamente una elipse) con un período de $4\pi$ devolviendo los puntos fijos "originales" (cuando $t=0$ ) de vuelta al punto de partida.

( YouTube - Ruta trazada por puntos fijos )

Pregunta 1) ¿Es posible llegar a una función paramétrica suave para esta curva continua sin tener que intercambiar los signos del punto fijo debido a la $\mp\sqrt{...}$ ? ¿Podría esta idea prestarse a algún tipo de grupo de Mentira? ¿Hay alguna relación con los espinores a través de una rotación de $2\pi$ transformando suavemente a un inverso (de tipo) mientras que otro $2\pi$ la rotación se transforma de nuevo en el original (una doble cobertura)?

Un punto fijo "grande" (tipo alfa, $Z_n^\alpha$ ) se convierte en un punto fijo "pequeño", o infinitesimal (tipo beta, secuencia límite, $Z_n^\beta$ ) y así sucesivamente. Las preimágenes de los puntos fijos se comportan de forma similar, alternando entre alfa y beta en cada rotación.

Las preimágenes de los puntos fijos vienen dadas por $z_{-(n+1)}=\pm\sqrt{z_{-n}-c}$ por lo que las preimágenes primarias vienen dadas por $$z_{-1}^*(t)=\pm\sqrt{z_0^*(t)-c(t)}=\pm\sqrt{\frac{1\mp\sqrt{1-4c(t)}}{2}-c(t)}$$

Cuando se traza esta función, se crea exactamente la misma forma que los propios puntos fijos, sólo que trasladados a la izquierda, intercambiando entre el primer punto de "pellizco" a la derecha de la cuenca principal ( $Z_1^\alpha$ ) y el lejano a la izquierda punto límite en el eje real ( $Z_1^\beta$ , extremo izquierdo).

( YouTube - Trazado de trayectorias por preimágenes primarias de puntos fijos )

Las preimágenes secundarias, dadas por $$z_{-2}^*(t)=\pm\sqrt{\pm\sqrt{\frac{1\mp\sqrt{1-4c(t)}}{2}-c(t)}-c(t)}$$ sin embargo, tienen una forma muy diferente cuando se trazan. Hay cuatro preimágenes (únicas) para $n=-2$ . Hay dos preimágenes "grandes" o alfa (etiquetadas como $Z_2^\alpha$ ) y dos preimágenes infinitesimales o beta (etiquetadas como $Z_2^\beta$ ). Estos cuatro puntos fijos también se transforman suavemente entre sí en el curso de una rotación de $2\pi$ excepto porque hay cuatro de ellos, que se mueven entre cuatro posiciones cada $2\pi$ y no requieren $4\pi$ (o dos rotaciones) para volver a su posición original (como el $0^{th}$ y $1^{st}$ preimágenes) pero $8\pi$ (o cuatro rotaciones) para volver a su posición original.

Sin embargo, al igual que los demás puntos fijos y preimágenes, se alternan cada $2\pi$ entre un punto fijo tipo alfa (o "grande") y un punto fijo tipo beta (o infinitesimal). Una rotación de $2\pi$ esencialmente permuta todo de las preimágenes de un nivel dado de los puntos fijos mientras que una rotación de $4\pi$ permuta los puntos fijos de tipo alfa por separado de los puntos fijos de tipo beta. Pero la curva trazada por esta transformación no es una simple figura circular o elíptica, sino una forma algo más complicada, como se muestra en el diagrama siguiente:

( YouTube - Trazado de trayectorias por preimágenes secundarias de puntos fijos )

Las preimágenes terciarias, de las que hay 8 raíces únicas, se permutan entre las cuatro preimágenes alfa (etiquetadas $Z_3^\alpha$ ) y las cuatro preimágenes beta (etiquetadas como $Z_3^\beta$ ). Esa función, al ser trazada, deja otra extraña curva:

( YouTube - Camino trazado por preimágenes terciarias de puntos fijos )

(He actualizado las imágenes desde el post inicial, mostrando la trayectoria real trazada en lugar de sólo algunos puntos muestreados a lo largo de la misma, espero aclarar un poco la cuestión).

Los diferentes colores de los puntos muestreados reflejan las diferentes funciones a destajo de las elecciones de $\pm\sqrt{...}$ para cada nivel.

Pregunta 2) Lo mismo que la pregunta 1, pero para las preimágenes. ¿Es posible describir esas curvas como funciones continuas? Además, ¿por qué mi sentido arácnido se estremece con respecto a este tipo de permutación de raíces, evocando pensamientos de la Teoría de Galois tal vez?

(También estoy pensando en cómo reformular ciertas partes de esta pregunta basándome en las respuestas dadas a continuación...)

Enlaces de YouTube

Ruta trazada por puntos fijos
Camino trazado por las preimágenes primarias de los puntos fijos
Trazado de trayectorias por preimágenes secundarias de puntos fijos
Camino trazado por preimágenes terciarias de puntos fijos

Answer 1

Pregunta 1) ¿Es posible llegar a una función paramétrica suave para esta curva continua sin tener que intercambiar los signos del punto fijo debido a la $\pm \sqrt{}$ ?

La respuesta es no, esto es exactamente lo que monodromía se trata. No importa qué parametrización o incluso qué bucle se elija, siempre que el bucle gire exactamente una vez alrededor de $c=\frac{1}{4}$ (el parámetro donde el discriminante desaparece) los dos puntos fijos se intercambiarán.

Si tu bucle no da la vuelta $c=\frac{1}{4}$ por ejemplo, si se elige un círculo de radio inferior a $0.25$ Entonces, las raíces no se cambiarán.

Te dejo que generalices esto para responder a tu segunda pregunta.

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Apéndice

Vale, probablemente cubrir la teoría del espacio y la topología algebraica sea demasiado avanzado para ti en este punto de tus estudios. Sin entrar en la teoría general, aquí está básicamente la razón del fenómeno en un ejemplo simple.

Dejemos que $f: \mathbb C^* \to \mathbb C^*$ sea el mapa $f(z)=z^2$ . Si elige una ruta de la forma $\gamma(t)= r(t) e^{it}$ , donde $r : [0,2\pi] \to \mathbb R_+^*$ y $r(0)=r(2\pi)=r_0>0$ se puede preguntar si existe un camino $\tilde \gamma$ tal que $f \circ \tilde \gamma = \gamma$ . Esta trayectoria se denomina elevación de $\gamma$ en $f$ . (Para decirlo de una manera menos rigurosa, se quiere dar sentido a $\tilde \gamma(t)=\sqrt{\gamma(t)}$ Piensa en tus curvas de puntos fijos así $\tilde \gamma$ ).

En primer lugar, para encontrar dicho ascensor, hay que elegir el punto de partida $\tilde \gamma(0)$ tienes dos opciones, $\pm \sqrt{r_0}$ . Digamos que eliges $+\sqrt{r_0}$ . A continuación, puede comprobar a mano que después de esta elección, $\tilde \gamma$ está completamente determinado, y debe ser igual a $$\tilde \gamma(t)=\sqrt{r(t)} e^{i t/2}.$$

En particular, después de una vuelta completa, se obtiene $$\tilde \gamma(2\pi)=-\sqrt{r_0}.$$

¿Qué sentido tiene todo esto? Después de $\gamma(t)$ da una vuelta completa $z=0$ las dos preimágenes de $\gamma(0)$ por $f$ se cambian. Sabías que después de una vuelta, volverías a tener esa $\tilde \gamma(2\pi)$ debe satisfacer $\tilde \gamma(2\pi)^2=\gamma(2\pi)=r_0$ pero no era obvio que se volviera al punto de partida $+\sqrt{r_0}$ o ir a la segunda preimagen $-\sqrt{r_0}$ . En otras palabras, esta operación de elegir un punto de partida $\tilde \gamma(0)$ y luego mirando el punto final $\tilde \gamma(2\pi)$ le da una permutación de las preimágenes de $\gamma(0)$ y esta pequeña discusión demuestra que esta permutación es la no trivial (en un conjunto de 2 elementos). Si hubieras elegido $-\sqrt{r_0}$ para $\tilde \gamma(0)$ , habrías encontrado $\tilde \gamma(2\pi)=+\sqrt{r_0}$ y si su curva $\gamma$ se convirtió en dos veces alrededor de $z=0$ , entonces su curva levantada $\tilde \gamma$ volvería a su punto de partida. (¡Pruébalo!)

En términos elegantes, se diría que $f: \mathbb C^* \to \mathbb C^*$ es un mapa de cobertura, y que su grupo de monodromía (que describe la forma en que esta operación de elevación de la curva permuta las preimágenes de $\gamma(0)$ ) es el $\mathbb Z/2\mathbb Z$ el grupo de permutaciones de un conjunto de 2 elementos. Y aquí hay algo interesante : toda esta discusión realmente no depende de la función $r(t)$ ! la única propiedad importante sobre $\gamma$ es el número de veces que da la vuelta $0$ entre $t=0$ y $t=2\pi$ .

Así es como se generalizan las cosas :

Teorema 1: Si $f : X \to Y$ es un mapa de cobertura y $X, Y$ son espacios razonables (sin importar los tecnicismos), entonces cada camino $\gamma$ eleva a una trayectoria única $\tilde \gamma$ (es decir $f \circ \tilde \gamma = \gamma$ ), siempre que se elija el punto de partida de $\tilde \gamma$ .

Teorema 2: Supongamos ahora que $\gamma$ es un bucle cerrado. Entonces el mapa $\tilde \gamma(0) \mapsto \tilde \gamma(2\pi)$ es una permutación de las preimágenes de $\gamma(0)$ . Estas permutaciones se denominan grupo monodromático de $f$ (no estoy siendo muy preciso); no depende de la parametrización de $\gamma$ (se puede decir mucho mejor, pero dejémoslo así; la palabra clave es clase de homotopía).

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Anexo 2

Ahora que eres un experto en topología algebraica ;) puedes hacer una pregunta muy parecida a la que haces: digamos que fijo $f(z)=z^2-1$ y elijo un bucle $\gamma(t)= \frac{1}{2} e^{it}$ alrededor de $0$ . Sea $\gamma_n$ sea una elevación de $\gamma$ por $f^n$ El $n$ -ésima iteración de $f$ . ¿Cómo es que $\gamma_n$ permutar el $n$ -a preimágenes de $\gamma(0)$ ? ¿Y si elijo un bucle alrededor de $z=1$ ¿en su lugar? (¿Por qué? $0$ y $1$ ? porque $f^n : \mathbb C \backslash f^{-n}(\{0,1\}) \to \mathbb C \backslash \{0,1\}$ es un mapa de cobertura).

Esto se llama el grupo de monodromía iterada, y es un tema de investigación actual, con profundas conexiones con la dinámica compleja, la teoría de grupos y la teoría de autómatas.

Así que bien hecho por hacer esta pregunta, ¡y seguir preguntándose cosas!