Demostrar que $B(p,p) = 2 \int_0^{1/2} (t - t^2) ^ {p - 1} dt$

Question

Me gustaría demostrar que $$B(p,p) = 2 \int_0^{1/2} (t - t^2) ^ {p - 1} dt$$ donde B es la función Beta de Euler. Sé que tengo que demostrar que B es par en $1/2$ . Se agradecen algunos consejos, gracias.

Answer 1

Comience con la definición $$B(p,p) = \int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{p-1} dx.$$ Quieren que demuestres que el integrando está incluso alrededor de $x=1/2.$ Esto significa que $f(x-1/2) = f(1/2-x)$ donde $f(x)$ es el integrando $f(x) = x^{p-1}(1-x)^{p-1}.$ Para establecerlo, basta con conectarse: $$f(x-1/2) = (x-1/2)^{p-1}(1-(x-1/2))^{p=1}=(x-1/2)^{p-1}(1/2-x)^{p-1}.$$

Entonces, si se calcula $f(1/2-x)$ verás que es lo mismo.

Dado que el integrando es par sobre $x=1/2,$ podemos escribir $$ B(p,p) = 2\int_0^{1/2}x^{p-1}(1-x)^{p-1} dx=2\int_0^{1/2}(x-x^2)^{p-1} dx$$