Radio del círculo circunscrito de un polígono regular

Question

Iba a preguntar esto en SO pero creo que es más matemáticas que programación:

Dada la longitud lateral, el número de vértices y el ángulo de los vértices del polígono, ¿cómo puedo calcular el radio de su circunferencia circunscrita?

El polígono puede tener cualquier número de lados mayor o igual a 3.

La entrada de la wikipedia sólo habla del círculo circunscrito de un triángulo...

Gracias.

editar: Además, el polígono está centrado alrededor del punto (0,0). Así que supongo que estoy preguntando cuál es la distancia desde el origen a cualquiera de sus puntos..

Answer 1

Sea $s$ sea la longitud lateral y $\alpha$ es el ángulo del vértice. A continuación, utilizando la trigonometría simple se puede encontrar que $$ \sin{\frac{\alpha}{2}} = \frac{s/2}{r} $$ Por lo tanto $$ r = \frac{s}{2 \sin{\frac{\alpha}{2}}} $$

Answer 2

Cada vértice de un polígono debe estar a la misma distancia del centro del círculo que lo circunscribe.

Por lo tanto, encontrar la ecuación de las mediatrices de cualquiera de los lados del polígono.

La intersección de las bisectrices perpendiculares te dará el centro del círculo.

Entonces la distancia entre el centro y cualquier esquina del polígono es el radio del círculo.

EDITAR(respuesta a la pregunta editada):

Si la longitud de un lado es $L$ y el número de vértices es $N$ entonces Supongamos que los puntos A y B definen un lado y C es el centro.

Entonces el ángulo ACB es $360/N$ Supongamos que D es el punto medio de una arista AB entonces el ángulo DCA = ángulo DCB = 180/ N. Esto implica $sin(180/N) = L/(2R) $ donde R es el radio del círculo.

Así que.., $ R = \frac{L}{2sin(180/N)}$

Pseudocódigo:

def get_circumradius(L,N):
    return L/(2 * math.sin(180/N))

Answer 3

El radio circunscrito $R$ de cualquier polígono regular que tenga $n$ nº de lados cada uno de la longitud $a$ viene dada por la fórmula generalizada $$\bbox[4pt, border: 1px solid blue;]{\color{red}{R=\frac{a}{2}\csc \frac{\pi}{n}} }$$ y cada uno de sus ángulos interiores es $\color{blue}{\frac{(n-2)\pi}{n}}$ .