Campo vectorial asesino de longitud constante en variedades riemannianas

Question

Me gustaría resolver el siguiente problema

Matar a un campo de vectores $X$ Riemann colector de $(M, g)$ ($g$ es la métrica) tiene longitud constante si y sólo si cada curva integral del campo $X$ es una geodésica en $(M, g)$.

He encontrado aquí http://arxiv.org/pdf/math/0605371.pdf (Proposición 1) de la solución, pero no entiendo ¿qué es $L$, cómo definir y utilizar ese $L$, y de cómo a partir de que (la ecuación de la prueba) la siguiente declaración.

O hay algunas soluciones alternativas?

Mi definición de la Matanza de campo vectorial: Vamos a $X$ campo de vectores en un colector de Riemann $(M,g)$ $U$ vecindad de un punto de $p \in M$. Deje $\varphi: (-\varepsilon, \varepsilon) \times U \to M$ es el flujo del campo vectorial $X$. A continuación, $X$ está Matando campo vectorial si para cada a $t_0 \in (-\varepsilon, \varepsilon)$ asignación de $\varphi_{t_0}:U \to M$ es isometría.

Answer 1

Su definición de un campo vectorial de Asesinato$X$ implica que
\begin{equation} g_t(Y,Z)=g_0(Y,Z)+O(t^2)\\\lim_{t \to 0}\frac{g_t(Y,Z)-g_0(Y,Z)}{t}=0 \end{equation}
el LHS es la definición de la derivada de Lie, es decir,
\begin{equation} (L_Xg)(Y,Z)=0 \end {equation} para cualquier campo vectorial$Y$ y$Z$. Asi que
\begin{equation} (L_Xg)(X,Y)=0\\ Xg(X,Y)-g(L_XX,Y)-g(X,L_XY)=0\\ g(\nabla _XX,Y)+g(X,\nabla _XY)-g([X,X],Y)-g(X,[X,Y])=0\\ g(\nabla _XX,Y)+g(X,\nabla _YX)=0 \end {equation} Si la curva integral de$X$ es geodésica, entonces$\nabla _XX=0$ y así
\begin{equation} g(X,\nabla _YX)=0\\ 0.5Yg(X,X)=0 \end {equation} Entonces$X$ tiene longitud constante. Por el contrario, si$X$ tiene una longitud constante, entonces$Yg(X,X)=0$ y así$g(\nabla _XX,Y)=0$ para cualquier campo vectorial$Y$ y así$\nabla _XX=0$. el resultado.