Me preguntaba si hay un conjunto denso en$\mathbb{R}$ mensurable de modo que$m(A∩I)=1/2|I|$ para cualquier intervalo esta propiedad también nos dice que su complemento es un conjunto del mismo tipo.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Aquí hay otra manera de ver que no puede existir ese conjunto. Si lo hizo, deje$A' = A \cap (0,1)$, de modo que$m(A') = 1/2$. Como$A'$ es mensurable y la medida de Lebesgue es externa regular, existe un conjunto abierto$U$ con$A' \subset U \subset (0,1)$ y$m(U) < 1$. (Alternativamente, tenga en cuenta que la medida de$A'$ es igual a su medida externa.) Pero$U$ se puede escribir como una unión disyunta contable de intervalos abiertos$I_n$, entonces$\sum_n m(I_n) = m(U) < 1$ . Por otro lado,$m(A') = \sum m(A' \cap I_n) = \sum m(A \cap I_n) = \frac{1}{2} \sum m(I_n) < \frac{1}{2}$, que es absurdo.
