Probar la siguiente fórmula de $\ln(2)$

Question

Probar la siguiente fórmula de $\ln2$

$$\ln2=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right)-\frac{1}{4}\left(\frac{3}{4}\right)+\frac{1}{6}\left(\frac{9}{8}\right)-\frac{1}{8}\left(\frac{15}{16}\right)+\frac{1}{10}\left(\frac{33}{32}\right)-\frac{1}{12}\left(\frac{63}{64}\right)\cdots$$

Answer 1

Su fórmula es:\begin{align} S&:=-\sum{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2\,n}\frac{2^n-(-1)^n}{2^n}\ &=-\sum{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2\,n}+\sum{n=1}^\infty \frac{(-1)^{2n}}{2\,n}\frac 1{2^n}\ &=-\frac 12\sum{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}+\frac 12\sum{n=1}^\infty \frac 1{n} \left(\frac 12\right)^n\ &=\frac 12\log(1-(-1))-\frac 12\log(1-1/2)\ &=\log 2\ \end align {} (utilizando sólo $\,\displaystyle -\log(1-x)=\sum{n=1}^\infty \frac{x^n}n\;$)

Answer 2

Sugerencia: ¿Qué es la expansión de la serie $$ \frac{1}{1-x} $ $ donde convergen? Observe % $ $$ \log(1-x) = - \int \frac{dx}{1-x} $