Convergencia de la serie con la integral interior

Question

$\sum{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \int{n}^{n^2}\frac{dx}{x^6+1}$

Primera vez que veo integral dentro de la serie. Necesita demostrar a convergencia, por lo que creo que es necesario integrar y contar todo. ¿Hay cualquier métodos rápidos para trabajar con él?

Answer 1

La serie converge absolutamente. Tenemos

$$\left|(-1)^n\int_n^{n^2} \frac{1}{x^6+1}\, dx\right| = \int_n^{n^2}\frac{1}{x^6+1}\, dx \le \int_n^{\infty}\frac{1}{x^6}\, dx = \frac{1}{5n^5}.$$

Desde $\sum 1/n^5$ converge, la serie converge absolutamente por el test de comparación.

Answer 2

Para mostrar que la serie converge, todos tenemos que mostrar es que el integral $\int_n^{n^2} \frac1{1+x^6}\,dx$ disminuye monótonamente a $0$ % suficientemente grande $n$.

De hecho, es fácil demostrar que la función $F(n)=\int_n^{n^2}\frac{1}{1+x^6}\,dx$ disminuye monótonamente a $0$ $n\ge 2$. Para ver esto, distinguir $F(n)$ con respecto a los $n$ para obtener

$$F'(n)=\frac{2n(1+n^6)-(1+n^{12})}{(1+n^6)(1+n^{12})}\tag1$$

Tenga en cuenta que $F'(n)0$. $n\ge 2$, $F'(n)

Answer 3

Tenemos $$ \int_{n}^{n^2}\frac{dx}{x^6+1}=\int_{0}^{n^2}\frac{dx}{x^6+1}-\int_{0}^{n}\frac{dx}{x^6+1} = \int_{0}^{n}\frac{2x}{x^{12}+1}-\frac{1}{x^6+1}\,dx $$ y ya que la función $\frac{1}{x^6+1}$ es integrable sobre $\mathbb{R}^+$ el límite de la LHS/RHS como $n\to +\infty$ es cero.
Por otro lado, la función de $\frac{2x}{x^{12}+1}-\frac{1}{x^6+1}$ tiene un número finito de ceros en $\mathbb{R}^+$, de ahí la LHS/RHS es monótona desde algún punto en la serie de la $\sum_{n\geq 1}(-1)^n \int_{n}^{n^2}\frac{dx}{x^2+1}\,dx$ es convergente por Leibniz regla.