Quería compartir un problema realmente cool pero simple.
Considerar una coloración de los puntos de $\mathbb R^n$ $n$ colores. Demostrar que es un color $c$ tal que para cualquier $r>0$ hay dos puntos de % color $c$a esa distancia.
Saludos.
Respuesta
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Parece que el siguiente.
Asumir lo contrario: para cada color $i$ existe un número $r_i>0$ de manera tal que no hay dos puntos de el color de la $i$ a esa distancia. Después de una (re)enumeración podemos suponer $r_1\ge r_2\ge\dots r_n$. Para cada una de las $i$ deje $X_i$ ser un conjunto de puntos de $\Bbb R^n$ color por el color de la $i$.
Ahora hacemos lo siguiente inductivo de construcción. Deje $j_1=\min \{j:X_j\ne\varnothing\}$. Elige un punto arbitrario $x_1\in X_{j_1}$. Deje $S_1$ $(n-1)$- dimensiones de la esfera con centro de $x_1$ y radio de $R_1=r_{i_1}$. A continuación,$S_1\subset\Bbb R^n\setminus X_{j_1}$. Supongamos que $1\le i<n$, y para cada una de las $1\le l\le i$, ya podemos construir un $(n-l)$-dimensiones de la esfera $S_l$ radio $R_l\ge\frac {r_{j_l}}{\sqrt 2}$ y un índice de $j_l$ que si $1<l\le i$$j_l=\min \{j: X_{j}\cap S_{l-1}\ne\varnothing\}$$S_l\subset S_{l-1}\setminus X_{j_l}$. Poner $j_{i+1}=\min \{j: X_{j}\cap S_i\ne\varnothing\}$. A continuación,$j_{i+1}>j_i$. Elige un punto arbitrario $x_{i+1}\in X_{j_{i+1}}\cap S_i$. Luego de una intersección $$S_{i+1}=S_i \cap \{x\in\Bbb R^n: |x-x_{i+1}|=r_{j_{i+1}}\}\subset S_i \setminus X_{j_{i+1}}$$ is an $(n-i-1)$-dimensional sphere with radius $$R_{i+1}=r_{j_{i+1}}\sqrt{1-\left(\frac{r_{j_{i+1}}}{2R_i}\right)^2}.$$ From inequalities $r_{j_{i+1}}\le r_{j_{i}}$ and $R_i\ge\frac {r_{j_i}}{\sqrt 2}$ it follows that $R_{i+1}\ge\frac {r_{j_{i+1}}}{\sqrt 2}$.
Al final de la construcción se obtiene un cero-dimensional de la esfera de $S_n$ (es decir, dos puntos de set). Pero dado que la secuencia de $\{j_i\}$ es estrictamente creciente, tenemos $j_n=n,j_{n-1}=n-1,\dots, j_1=1$$S_n\subset S_1\cap \bigcap_{i=2}^n S_{i-1}\setminus X_i \subset (\Bbb R^n\setminus X_{1})\cap \bigcap_{i=2}^n (\Bbb R^n\setminus X_i)=\varnothing$, una contradicción.
