El % de modelo de valor booleano $V^B$es extensional.

Question

Actualmente estoy estudiando forzando a partir de Jechs la Teoría de conjuntos y me he encontrado con esta aparentemente inocente lema que dice:$\\$

Lema 14.17. $V^B$ es extensional.
Prueba. Deje $X,Y \in V^B$. Por definición de $a \Rightarrow b$ podemos observar que si $a \le a'$,$(a' \Rightarrow b) \le (a \Rightarrow b)$.
Por lo tanto para cualquier $u \in V^B$ tenemos $(\|u \in X\| \Rightarrow \|u \in Y\|) \le (X(u) \Rightarrow \|u \in Y\|)$ y por tanto:
$\hspace{2cm} \prod\limits_{u \in V^B}(\|u \in X\| \Rightarrow \|u \in Y\|) \le \prod\limits_{u \in V^B}(X(u) \Rightarrow \|u \in Y\|)$
Mientras que el lado izquierdo es igual a $\|\forall u(u \in X \rightarrow u \in Y)\|$, el lado derecho se ve fácilmente a la igualdad de $\|X \subset Y\|$. En consecuencia,
$\hspace{2cm} \|\forall u(u \in X \leftrightarrow u \in Y)\| \le \|X = Y\|\hspace{7.7cm}\Box$

Lo que me confunde es el hecho de que $dom(X)$ no puede ser todos los de $V^B$ ya que existe cierta $\alpha$ tal que $X \in V^B_{\alpha + 1}$$dom(X) \subset V^B_\alpha$. Entonces, ¿cómo podemos evaluar $X(u)$$u \not\in dom(X)$? Hacer sustituimos con $0$? Cómo es la prueba de ello en el libro válida?
Gracias, por su paciencia.

Answer 1

Su conjetura es correcta: $X(u)$ debe interpretarse como $0$ si no en el dominio de $u$ $X$. Esto tiene sentido intuitivamente: Si crees de $X(u)$ como la representación de un "valor de verdad" a que $u$ es un elemento de $X$, entonces cualquier $u$ no en el dominio debe ser asignado un valor de verdad de $0$.

Con esta corrección la prueba entonces trabaja, desde $X(u)\Rightarrow |u\in X|=1$ cuando $u\not\in dom(X)$ y estos términos no afectan a la reunión y así $$\prod\limits{u \in V^B}(X(u) \Rightarrow |u \in Y|)=\prod\limits{u \in dom(X)}(X(u) \Rightarrow |u \in Y|)=|X\subset Y|.$ $

Answer 2

<blockquote> <p>Entonces, ¿cómo evaluamos $X(u)$ $u \not\in dom(X)$? ¿Sustituimos con $0$?</p> </blockquote> <p>En esta prueba (1) es exactamente lo que hacemos. Es un abuso leve de la notación (que es muy común en todas las matemáticas).</p> <p>(1) no me sorprendería si el mismo abuso de la notación se produce en una situación donde la evaluación como $0$ no produce el resultado deseado. Por lo tanto no reivindico la generalidad.</p>

Answer 3

$X$ es una función parcial, puesto que no puede definir para cada argumento de $V^B$ y esto no se explica bien en el libro de Jech. Para una función parcial, todas las nociones lo que es depende de la función se define. Por ejemplo, para funciones parcial $f$ y $g$ tenemos que $f = g$si los $x$ tenemos que cada vez que se define $f(x)$ y $f(x) = y$, entonces el $g(x)$ se define el % y $g(x) = y$ y viceversa.