Calcular límite débil de $S_n/\sqrt{n}$

Question

Deje $(X_n)_{n\in \mathbb N}$ ser independiente continuo de variables aleatorias con cdf $$f_n(x) := f_{X_n}(x) = \frac{n+1}{2}\lvert x \rvert ^n \mathbb 1_{[-1,1]}.$$ Deje $S_n := \sum_{k=1}^nX_k$ y calcular los débiles límite de $S_n/\sqrt{n}.$

Enfoque: La primera cosa que he intentado es encontrar la densidad de $X_1 + X_2$ mediante el cálculo de la convolución de $f_1, f_2$ pero que se vuelve un poco complicado de calcular.
También, tratando de calcular la función característica de a $X_n$ no es muy suave (Usted podría utilizar la integración parcial $n$ a veces), debe haber una manera más fácil. Hay tal vez una manera de invocar el teorema del límite central modificando cosas? Cualquier ayuda apreciada!

Answer 1

Parece que las condiciones de Lyapunov se aplica. Primero observe que $X_k$ tiene expectativa cero. La variación de $X_k$ es, por tanto, la expectativa de $X_k^2$, que es $1+\varepsilon_k$, donde $\varepsilon_k\to 0$. En consecuencia, la suma de las varianzas es orden $n$. Uno puede también calcular los momentos de orden $2+\delta$ y encontrar que $\mathbb E\left[\left\lvert X_k\right\rvert^{2+\delta}\right]=1+\varepsilon'_k$ donde $\varepsilon'_k\to 0$.