Resolver la recurrencia relación $a_k=(a_{k-1})^2-2$

Question

$$ak=\left(a{k-1}\right)^2-2$$

$a_0=\frac{5}{2}$

Luego encontrar $$P=\prod_{k=0}^{\infty} \left(1-\frac{1}{a_k}\right)$ $

Mi intento:

Volvió a escribir la ecuación de recurrencia

$$ak+1=(a{k-1}-1)(a_{k-1}+1)$$ $\implies$

$$\frac{1}{a{k-1}-1}=\frac{a{k-1}+1}{a_k+1}$$ $\implies$

$$\frac{a{k-1}}{a{k-1}-1}=\frac{(a{k-1})^2+a{k-1}}{a_k+1}=\frac{ak+a{k-1}+2}{a_k+1}$$

¿cualquier sugerencia aquí?

Answer 1

Sugerencia: Hay tres pasos. En primer lugar, cada $k=0,1,2,\ldots$, muestran que el % $ $$a_k=2^{2^k}+\frac{1}{2^{2^k}}\,.$segundo, escriba $$1-\frac{1}{a_k}=\frac{a_k-1}{ak}=\left(\frac{a{k+1}+1}{a_k+1}\right)\frac{1}{ak}\,,$ $ % los $k=0,1,2,\ldots$. Por último, mostramos %#% $ de #% usando la identidad $$\prod{k=0}^n\,ak=\frac{2}{3}\left(2^{2^{n+1}}-\frac{1}{2^{2^{n+1}}}\right)\,,$ $ % todo $$(x-y)\,\prod{k=0}^n\,\left(x^{2^k}+y^{2^k}\right)=x^{2^{n+1}}-y^{2^{n+1}}\,,$.

Al final debe obtener %#% $ #%