Supongamos $E$ fueron Borel. Entonces, la función de $1_E$, la función de indicador de $E$, debe ser Borel medible, con respecto al producto de la medida de Borel $\mu$, y además debemos tener $\int_{[0,1] \times [0,1]} 1_E d \mu = \mu(E) \leq 1$ por el hecho de que $E$ es un subconjunto de la unidad de la plaza.
Ahora, desde la integral de la $\int_{[0,1] \times [0,1]} 1_E d \mu$ existe, podemos utilizar el teorema de Fubini a la conclusión de que la $$\int_0^1 \int_0^1 1_E(x,y) dx dy = \int_0^1 \int_0^1 1_E(x,y) dy dx \tag{*}$$.
Fix $x \in [0,1]$. La función de $f_x(y) = 1_E(x,y)$ definido en $[0,1]$ es cero excepto en una contables, de manera que es cero en casi todas partes. Ya que esto se aplica para todos los $x$, podemos ver que $\int_{0}^1 1_{E}(x,y) dy = 0$ todos los $x$. En consecuencia, el lado derecho de la $(*)$ es cero.
Fix $y \in [0,1]$. La función de $f_y(x) = 1_E(x,y)$ definido en $[0,1]$$1$, excepto en una contables, de manera que es igual a $1$ en casi todas partes. Ya que esto se aplica para todos los $y$, podemos ver que $\int_0^1 1_E(x,y) dx = 1$ todos los $y$. En consecuencia, el lado izquierdo de $(*)$$1$.
Esto contradice $(*)$, y la única suposición fue que $E$ es Borel medible.
Si lo desea puede ver si usted puede encontrar ejemplos de tales $E$, de curso, de lo contrario este lema puede no parecer muy fructífera.
