Un director de $G$-bundle $P \to B$ es trivial si y sólo si existe una sección de $\sigma: B \to P$. (A continuación,$B \times G \cong P$, dado enviando $(b,g) \mapsto \sigma(b)g$.) Cada vez que usted quiere saber si un paquete tiene una sección, el lugar es la obstrucción de la teoría.
Dado un haz de fibras $F \to E \to B$, hay una secuencia de clases de $o_i(E) \in H^{i+1}(E; \pi_i F)$ donde $o_i$ se define siempre que $o_{i-1} = 0$.
(Dos comentarios merecen ser hecho para hacer este preciso: 1) esta secuencia de clases sólo existe suponiendo que $F$ es simple, lo que significa que $\pi_1 F$ actos trivialmente en $\pi_n F$ todos los $n$; 2) estos cohomology de los grupos de uso local de los coeficientes, en función de la acción de $\pi_1 B$ $\pi_i F$ determinado por el haz de fibras. La primera es verdadera cuando $F$ es una Mentira grupo, y la segunda es verdadera para cualquier director $G$-paquete.)
Si $o_i(E) = 0$ todos los $i \leq j$, entonces existe una sección de $E$ definida sobre el $(j+1)$-esqueleto de la $B$. Si todas las clases $o_i(E) = 0$, luego hay una sección de $E$ definida sobre todos los de $B$.
Al $G$ se conecta simplemente a la Mentira de grupo, a continuación, $\pi_0 G = \pi_1 G = 0$ es la trivial grupo, por supuesto. Además, es un teorema (creo que de Bott) que $\pi_2 G = 0$ es trivial; consulte aquí para más detalles. A continuación, $\pi_3 G \cong \Bbb Z^t$ es no trivial , a menos $G$ es la trivial grupo (también debido a la Bott).
Ahora, en un prinicipal $G$-bundle $P \to B$ más de un 3-colector $B$, se puede ejecutar la obstrucción de la teoría de la máquina: debido a $\pi_0 G = \pi_1 G = \pi_2 G = 0$, los elementos $o_i(P) \in H^{i+1}(B; \pi_i G)$ son cero para $0 \leq i \leq 2$. Por lo anterior no existe un tramo de más de 3 esqueleto; se trabaja a través de una 3-variedad, y por lo tanto se ha definido una sección en todas partes. (Las clases altas, $o_i(P)$ tautologically desaparecer debido a $H^k(B) = 0$ al $k > 3$.) De hecho, nunca hemos usado el colector de la estructura de aquí (excepto implícitamente en assuiming que $B$ tiene un CW-complejo de la estructura de dimensión 3, pero esto no es peligroso).
Vale la pena mencionar aquí que si $G$ es un trivial simplemente conectado compacto de Lie del grupo, siempre habrá un trivial $G$-paquete de más de un 4-colector (debido a $\pi_3 G$ es distinto de cero).
Aquí está una por manos la prueba de codificación por encima de la obstrucción de la teoría. Elegir una celda de la descomposición de su 3-colector $B$ (sin necesidad de asumir orientability). Elija una sección de arriba de cada punto en el $0$-esqueleto; esto es sólo elegir un punto en la fibra, por lo que es claramente posible.
Ahora nos introducirá. Supongamos que hemos construido una sección sobre$B^{(i)}$, $i$- esqueleto, para $i \leq 2$. (Si $i = 3$, hemos terminado.)
Para cada $(i+1)$-simplex $e: \Delta^{i+1} \to B$ $(i+1)$- esqueleto, el paquete de $e^*P \cong \Delta^{i+1} \times G$ es trivial sobre $\Delta^{i+1}$, debido a que el simplex es contráctiles; y ya hemos construido una sección más de la $i$-esqueleto, que saca de nuevo a un mapa de $\partial \Delta^{i+1} \to G$ que queremos extender a un mapa definido sobre todos los de $\Delta^{i+1}$. Tenga en cuenta que $\partial \Delta^{i+1} \cong S^i$, y la construcción de una extensión sobre todos los de $\Delta^{i+1}$ es la construcción de un null-homotopy con el mapa de $S^i$. Ahora $i \leq 2$, e $\pi_i G = 0$ en este rango: todos los mapas de $S^i$ es nulo homotópica. Así que podemos elegir nuestra null-homotopy arbitrariamente, y esta es la manera de ampliar a través de este simplex $e(\Delta^{i+1}) \subset B$. Ejecutar este mismo argumento sobre el resto de los simplices y tiene una sección definida sobre $B^{(i+1)}$, como se desee.
