Desvanecimiento de los caracteres de Chern en grado inferior a la codimensión del soporte

Question

Sea $\mathcal{E}$ sea una gavilla coherente sobre una variedad lisa $X$ de dimensión $n$ . Sabemos que en tal caso existe una resolución localmente libre de longitud $n$ :

$$E_{n} \to \ldots \to E_{1} \to \mathcal{E}.$$

Esto nos permite definir el carácter de Chern de $\mathcal{E}$ por:

$$\text{ch}(\mathcal{E}) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i} \text{ch}(E_{i}) \in H^{2*}(X, \mathbb{Q}),$$

donde se utiliza la conocida noción del carácter de Chern del conjunto localmente libre $E_{i}$ . Denotamos típicamente el carácter de Chern $\big(\text{ch}_{0}(\mathcal{E}), \ldots, \text{ch}_{n}(\mathcal{E})\big)$ . (Aunque los caracteres de Chern superiores no suelen desaparecer, se integran a cero contra $X$ por lo que los omitimos).

Digamos que el apoyo de $\mathcal{E}$ es $d$ dimensional. Estoy luchando para demostrar que $\text{ch}_{k}(\mathcal{E})=0$ para $k < n-d$ . ¿Puede alguien ayudarme a ver esto con rigor y/o proporcionarme fuentes? Además, creo que debería ser cierto que $\text{ch}_{n-d}(\mathcal{E})$ debería estar muy estrechamente relacionada con la clase de homología (dual de Poincare de la) de $\text{Supp}(\mathcal{E})$ . ¿Es cierto?

Me preocupa que haya que usar algo muy potente como Grothendieck-Riemann-Roch, pero he estado intentando pensar en ello en términos de la interpretación topológica de las clases de Chern $c_{k}(E_{i})$ de la resolución localmente libre anterior. Sin embargo, las cancelaciones necesarias no me parecen en absoluto evidentes y me parecen casi demasiado milagrosas.

Answer 1

Si te gusta trabajar con grupos Chow, aquí tienes una forma de verlo:

Recordemos que dada una variedad $X$ y un subconjunto denso abierto $U$ con $Z=X\backslash U$ tenemos que para cada $k\in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ la siguiente secuencia exacta

$$A_k(Z) \rightarrow A_k(X) \stackrel{i^*}{\rightarrow} A_k(U) \rightarrow 0$$ donde $i:U\rightarrow X$ es el mapa de inclusión y $i^*$ viene dada por el pullback plano.

Ahora dejamos que $Z = Supp(\mathcal{E})$ . Por supuesto, esto es $d$ -y, por tanto, para cualquier $k>d$ tenemos que $i^*: A_k(X) \rightarrow A_k(U)$ es un isomorfismo. En este entorno, como estamos trabajando con el carácter de Chern, en realidad deberíamos tensor todo por $\mathbb{Q}$ por lo que tenemos un isomorfismo $i^*: A_k(X) \otimes \mathbb{Q} \rightarrow A_k(U) \otimes \mathbb{Q}$ para $k>d$ .

A partir de ahora $U$ tenemos que $$0\rightarrow E_n|_U \rightarrow E_{n-1}|_U \rightarrow \ldots \rightarrow E_1|_U \rightarrow 0$$ es exacta, por lo que utilizando la aditividad del carácter de Chern tenemos que $\sum_{i=1}^n (-1)^i ch(E_i|_U) = 0$ . Por otra parte, sabemos que $i^*$ conmuta con $ch$ por lo que deducimos que $i^* (\sum_{i=1}^n (-1)^i ch(E_i)) = 0$ es decir $i^* ch(\mathcal{E}) = 0$ . Por el hecho de que $i^*$ es un isomorfismo para $k>d$ deducimos que $ch_k(\mathcal{E}))= 0\in A_k(X)\otimes \mathbb{Q}$ para $k>d$ .

Ahora que $X$ es suave, tenemos que $A_k(X) \cong A^{n-k}(X)$ y por lo tanto tenemos que $ch^{k}(\mathcal{E}) = ch_{n-k}(\mathcal{E}) = 0$ para $k<n-d$ . (Aquí estoy utilizando índices superiores en lugar de índices inferiores para distinguir la clasificación en $A^*$ y $A_*$ (cohomológico/homológico)).

Por último, el mapa de ciclos $A^*(X) \rightarrow H^{2*}(X)$ mapas $ch(\mathcal{E})$ (visto como un elemento de Chow) a $ch(\mathcal{E})$ (visto como un elemento en cohomología), así que hemos terminado.