¿Cómo probar $x - \frac{x^3}3 < \arctan x < x$?

Question

<blockquote> <p>¿Demostrar que $$x - \frac{x^3}3 < \arctan x < x$$ for every $x # > 0$?</p> </blockquote> <p>Traté de tomar el límite de $x-x^3/3$ y $\arctan(x)$ $x$ $0$ acerca, pero me sale $0$ que tiene sentido ya que son ambos $0$ $x=0$</p> <p>No sé qué hacer algebraicamente. Agradeceria alguna ayuda.</p>

Answer 1

Tenga en cuenta que $$1-t^2 \le\frac{1}{1+t^2} \le 1$$ for a real $t $ (the inequalities hold with equality only when $t = 0$). Por lo tanto, $$\int_0^{x}(1-t^2)\, dt \le \int_0^{x}\frac{1}{1+t^2}\, dt \le \int_0^{x}1\, dt$ $ $x \ge 0$. Es decir, $$x-\frac{x^3}{3} \le \arctan(x) \le x.$ $

Las desigualdades se mantenga con la igualdad solamente cuando $x=0$.

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Como se sugiere en los comentarios, $x > 0$, tenemos $$\int_{x/2}^{x}(1-t^2)\, dt 0$.

Answer 2

Sugerencia:

$$\frac{d}{dx}\arctan x=(1+x^2)^{-1}$$

$$(1+x^k)^n=\sum_{r=0}^\infty\dfrac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r!}x^{kr}$$

Answer 3

<h1>A prueba de</h1> <p><strong>(1)</strong> que $$f(x)=\arctan x,~~~x>0.$ $</p> <p>Por el teorema del valor medio de Lagrange, obtenemos $$f(x)-f(0)=f'(\xi_1)(x-0),$$where $0 < \xi_1 < x.$ Thus, $$\arctan x=\frac{1}{1+\xi_1^2}\cdot x<x.$$</p> <p><strong>(2)</strong> sea $$g(x)=\arctan x-x+\frac{x^3}{3},~~~x>0.$ $</p> <p>Por el teorema del valor medio de Lagrange, obtenemos $$g(x)-g(0)=g'(\xi_2)(x-0),$$where $0 < \xi_2 < x.$ Thus, $$\arctan x-x+\frac{x^3}{3}=\frac{\xi_2^4}{\xi_2^2+1}\cdot x>0,$$namely,$$\arctan x>x-\frac{x^3}{3}.$$</p> <p>Combinando <strong>(1)</strong> y <strong>(2)</strong>, hemos terminado.</p>