Demostrando que la multiplicación de la matriz incontables es asociativa

Question

He estado buscando innumerables grandes estructuras que generalizar la idea de la multiplicación de la matriz y se percató de la siguiente patrón

Dadas las funciones $M_1(x,y) , M_2(x,y)$ definido en la unidad de la plaza de $[0,1] \times [0,1]$ uno puede definir su "matriz producto" como

$$ M_3(x,y) = \int_{0}^{1} M_1 (s, y) M_2 (x, 1-s) ds = ( M_1 M_2 )$$

Si tratamos de aproximar esta integral con las sumas de riemann, nos encontramos con que las aproximaciones son computacionalmente equivalentes multiplicando cada vez más alto orden de las matrices (para producir una tercera matriz), pero no está claro que la asociatividad se conserva como tomamos el límite a la formación integral.

Mi trabajo:

para 3 funciones a,B,C expresé $A(BC)$ $(AB)C$ en términos de las integrales, pero ahora no estoy claro sobre cómo mostrar que las 2 expresiones son iguales. Una idea era perturbar la definición anterior: $ \int_{-\infty}^{\infty} M_1 (s, y) M_2 (x, -s) ds$ y, a continuación, mostrar la asociatividad para este simple aspecto de la operación, [entonces es fácil demostrar que los mapas de enviar el aparato abierto de la plaza para todo el avión, compuesta con esta operación, y luego dijo: mapa de la inversa es equivalente a la operación anterior]

Answer 1

Que $A,B,C:[0,1]^2\to \mathbb R$ ser matrices. $$\begin{align} ((AB)C)(x,y) &= \int_0^1 (AB)(s,y)C(x,1-s)\,ds \&=\int_0^1\left(\int_0^1A(t,y)B(s,1-t)\,dt\right)C(x,1-s)\,ds \&=\int_0^1\int_0^1A(t,y)B(s,1-t)C(x,1-s)\,dt\,ds \end {Alinee el} $$$ $\begin{align} (A(BC))(x,y) &= \int_0^1 A(s,y)(BC)(x,1-s)\,ds \&=\int_0^1A(s,y)\left(\int_0^1B(t,1-s)C(x,1-t)\,dt\right)\,ds \&=\int_0^1\int_0^1A(s,y)B(t,1-s)C(x,1-t)\,dt\,ds \&\stackrel{\text{Fubini}}=\int_0^1\int_0^1A(s,y)B(t,1-s)C(x,1-t)\,ds\,dt \&\stackrel{s\leftrightarrow t}=\int_0^1\int_0^1A(t,y)B(s,1-t)C(x,1-s)\,dt\,ds \&= ((AB)C)(x,y) \end {Alinee el} $$