$M$ manifold diferencial,$f:M\to \mathbb{R}$ con exactamente dos puntos críticos$p,q$ tal que$f(p)=f(q)$

Question

Deje $M$ ser un diferencial de colector y deje $f:M\to \mathbb{R}$ $C^{\infty}$ función de que hay exactamente dos puntos de $x$ que satisfacer $d_xf=0$. Deje $p$ $q$ esos dos puntos, y supongamos que $f(p)=f(q)$. Demostrar que no es otra $C^{\infty}$ función de $g:M\to \mathbb{R}$ tal que $p$ $q$ son los únicos puntos críticos, sino $g(p)\neq g(q)$.

He estado tratando de resolver este problema, pero no puedo llegar a una solución. Claramente podemos suponer $f(p)\neq 0$, así que la intención de separar (por la $T2$ propiedad) $p$ $q$ con dos subconjuntos $U$$V$, y dejando $W$ un conjunto abierto tal que $p\in W\subseteq \overline{W}\subset U$ $\overline{W}$ compacto. Entonces tengo la intención de hacer uso de un golpe o de la función de partición de la unidad, pero yo no podría tener éxito.

¿Cómo se podría solucionar el problema?

Answer 1

Usted está en el camino correcto. Tome $q\in W\subset\overline W\subset U$, y crear una función suave $\phi$ $M$ $1$ $\overline W$ $q$ $0$ fuera de $U$. Vamos a considerar la función de $g=f+\phi$. Obviamente, $p$ $q$ son puntos críticos de $g$$g(p)\ne g(q)$. Pero podemos introducir otros puntos críticos, que necesariamente debe recaer en $\overline U-W$.

Así que aquí está el truco. Deje $C = \inf\limits_{x\in \overline U-W} \|df_x\|$ y deje $C' = \sup\limits_{x\in\overline U-W} \|d\phi_x\|$. Ahora reemplace $\phi$ $c\phi$ donde $0<c<C/C'$. (Usted puede calcular estas normas por trabajar en un único gráfico centrado en $q$. Sólo elige $U$ dentro de la tabla.)