Prueba de que el $\sup \left(a,b\right) = b$ .

Question

Estoy tratando de demostrar que el menor límite superior del intervalo, $(a,b)$ es $b$ pero estoy luchando por establecer que $b$ es el menor de estos límites superiores.

Así que, usando la definición de Rudin, quiero demostrar tanto que $b$ es un límite superior del intervalo y que es el menor de dichos límites superiores.

Primero, por definición, $(a,b) = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$ . Así que, $\forall x \in (a,b), x < b$ Así que $b$ es claramente un límite superior.

En segundo lugar -- donde me encuentro confundido, aunque este es mi mejor intento -- supongamos, por una contradicción, que $\gamma \neq b$ es el límite superior mínimo de $(a,b)$ . Así que, $x \leq \gamma$ para todos $x \in (a,b)$ . Entonces, como $b$ es claramente un límite superior de $(a,b)$ , $b \geq \gamma$ . Pero, si $b > \gamma$ entonces $\gamma \in (a,b)$ por definición. Pero, si este es el caso, entonces podemos encontrar algún valor mayor en $(a,b)$ es decir, tomando la media de $b$ y $\gamma$ , produciendo algún valor, $\alpha$ , de tal manera que $\gamma < \alpha < b$ . Así, $\gamma$ no es un límite superior de este conjunto, por lo que debe ser el caso que $b = \gamma$ . Así, $b$ es el límite superior mínimo de $(a,b)$ .

¿Cómo se ve esto?

Answer 1

Su prueba es correcta.

Sin embargo, se puede demostrar directamente a través de la definición de límite superior mínimo. Como usted ha señalado $b$ es un límite superior. Tomemos cualquier $c<b$ y demostrar que $c$ no es un límite superior. Es evidente que cualquier número entre $\max(a, c) $ y $b$ se encuentra en $(a, b) $ y es mayor que $c$ y por lo tanto $c$ no es un límite superior. Así, $\sup(a, b) =b$ .

Answer 2

Suponiendo que $a<b.$

$b$ Es un límite superior para $(a,b)$ por la definición de $(a,b)$ y la definición de "límite superior". Pero si $c<b$ entonces $c<\frac {b+\max (a,c)}{2}\in (a,b)$ así que $c$ NO es un límite superior para $(a,b).$

Si $b$ pertenece a un conjunto $U$ ... (e.g.if $U$ es el conjunto de límites superiores de $(a,b)\;$ ),... y si ningún miembro de $U$ es menor que $b$ entonces $b$ es el menor miembro de $U.$

Answer 3

Vas por buen camino, pero puedes simplificar la prueba. Deja que $c$ sea un límite superior para $(a,b)$

Si $c<b$ entonces $$ a<\frac{a+b}{2}\le c<b $$ y así $$ a<\frac{a+b}{2}\le c<\frac{b+c}{2}<b $$ Esto es una contradicción con $c$ siendo un límite superior para $(a,b)$ porque $(b+c)/2\in(a,b)$ .

Por lo tanto, $c\ge b$ .