Si$AB=BA$, prueba que$ A=\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{bmatrix} $

Question

Deje $A$% a$2x2$ matriz, si$AB=BA$ para cada$B$% del tamaño$2x2$, demuestre que:

$$ A = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end {bmatrix} $$

$a \in \mathbb{R}$

Mi intento:

Deje $$ A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end {bmatrix} $$

ps

Y desde entonces

$$B=\begin{bmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{bmatrix}$

Asi que $AB=BA$

Y

$a_1 a_2 + b_1 c_2 = a_1a_2+b_2 c_1$

$b_2 c_1=b_1 c_2$

¿Pero qué puedo hacer ahora? Gracias :)

Answer 1

Que $A=\pmatrix{a&b\c&d}$. $B=\pmatrix{1&0\0&0}$ Tenemos $AB=\pmatrix{a&0\c&0}$ y $BA=\pmatrix{a&b\0&0}$. Así $AB=BA$ implica $b=c=0$, $A=\pmatrix{a&0\0&d}$. Ahora, decir $B=\pmatrix{0&1\0&0}$.

Answer 2

Nota: $$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end {pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end {pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end {pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end {pmatrix} \ Rightarrow \\ \begin{cases}\require{cancel}\cancel{a_{11}b_{11}}+a_{12}b_{21}=\cancel{b_{11}a_{11}}+b_{12}a_{21}\\ a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}=b_{11}a_{12}+b_{12}a_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}=b_{21}a_{11}+b_{22}a_{21}\\ a_{21}b_{12}+\cancel{a_{22}b_{22}}=b_{21}a_{12}+\cancel{b_{22}a_{22}}\end {cases} $ $ From$(1)$, ya que$b_{12}$ y$b_{21}$ pueden ser cualquier número, en particular,$b_{12}=0$ y$b_{21}\ne 0$, obtenemos:$a_{12}=0$.

Del mismo modo, para$b_{12}\ne 0$ y$b_{21}=0$, obtenemos$a_{21}=0$.

Desde$(2)$, ya que$a_{12}=0$ y$b_{12}$ es un número arbitrario, obtenemos$a_{11}b_{12}=b_{12}a_{22} \Rightarrow a_{11}=a_{22}$.