¿Por qué no es $H^*(\mathbb{R}P^\infty,\mathbb{F}_2)\cong \mathbb{F}_2[[x]]$ ?

Question

Acabamos de computar en clase hace unos días que $$H^*(\mathbb{R}P^n,\mathbb{F}_2)\cong\mathbb{F}_2[x]/(x^{n+1}),$$ y se mencionó que $H^*(\mathbb{R}P^\infty,\mathbb{F}_2)\cong \mathbb{F}_2[x]$ pero supuse (¿optimista?) que el functor de anillo de cohomología convertiría los límites en colímites, y así $$\mathbb{R}P^\infty=\lim\limits_{\longrightarrow}\;\mathbb{R}P^n$$ significaría que obtendríamos el anillo formal de la serie de potencias $$\lim\limits_{\longleftarrow}\;\mathbb{F}_2[x]/(x^{n+1})=\mathbb{F}_2[[x]].$$

Mi profesor dijo que la razón por la que conseguimos $\mathbb{F}_2[x]$ es sólo que el anillo de cohomología, siendo la directa suma de los grupos de cohomología, no puede tener elementos distintos de cero en todos los grados, lo que ciertamente tiene sentido.

Aunque eso debería zanjar el asunto, por alguna razón, todavía me cuesta un poco hacer que esto encaje para mí. ¿La explicación es simplemente que el functor de anillo de cohomología no actúa tan bien como yo esperaba? ¿Hay alguna explicación intuitiva de lo que ocurre?

Answer 1

Esto es probablemente algo que debería ser un comentario, principalmente porque no estoy seguro de que sea correcto. Siéntase libre de decirme que es una tontería.

1) Definitivamente lo he visto escrito $H^*(\mathbb{R} P^\infty; \mathbb{F}_2) \simeq \mathbb{F}_2[\![ x ]\!]$ . Por ejemplo, ver las notas de Jacob Lurie aquí .

2) La cohomología no juega bien con los límites inversos en general. Hay la secuencia exacta de Milnor, que es este caso debe dar:

$$0 \to \text{lim}^1 H^{\ast-1}(\mathbb{R} P^\infty;\mathbb{F}_2) \to H^*(\mathbb{R} P^\infty;\mathbb{F}_2) \to \underset{n}{\text{lim}} H^*(\mathbb{R}P^\infty;\mathbb{F}_2) \to 0$$

donde $\text{lim}^1$ es el primer functor derivado del límite inverso.

En este caso el $\text{lim}^1$ deberían ser todos nulos según el criterio de Mittag-Leffler (lo que se deduce porque los mapas $H^*(\mathbb{R} P^{n+1};\mathbb{F}_2)\to H^*(\mathbb{R} P^{n};\mathbb{F}_2)$ son suryentes). Por lo tanto, podemos concluir que $$H^*(\mathbb{R} P^\infty; \mathbb{F}_2) \simeq \mathbb{F}_2[\![ x ]\!]$$

A modo de apunte, este es el cálculo que se suele dar para mostrar $E^*(\mathbb{C} P^\infty) \simeq E_*[\![ x ]\!]$ para cualquier teoría cohomológica compleja orientada $E$ , que básicamente establece toda la relación entre las teorías de cohomología orientada a los complejos y las leyes formales de grupo.

Editar : Por favor, vea los comentarios de Mariano más abajo.

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