¿Es el producto punto un tipo de transformación lineal?

Question

Me pregunto en el campo del Álgebra Lineal, si el producto punto también se refiere a un producto interno: $$ \langle u,v\rangle =u\cdot v=u^Tv = u_1v_1 + u_2v_2+...+ u_nv_n, \quad \text{for} \quad u,v \in\mathbb{R}^n$$

puede clasificarse en un tipo de transformación lineal.

Estoy bastante confundido aquí, que la definición de $\langle \cdot,\cdot \rangle: V\times V\to F$ es un mapa de todos los vectores en un espacio vectorial, que es similar a Multiplicación de matrices (una forma de representar la transformación lineal), pero las propiedades en el producto interior es un poco diferente del anterior.

Es una especie de transformación de un espacio vectorial a otro.

Así que la imagen o el codominio de esta transformación lineal es el espacio del producto interior, mientras que el dominio de esta transformación lineal es el espacio vectorial original.

Answer 1

El producto punto no es una transformación lineal, pero te da un montón de transformaciones lineales: si piensas en $\langle v,w \rangle$ en función de $v$ con $w$ fija, entonces es una transformación lineal $\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$ Enviando un $n$ -vector de dimensiones $v$ al vector unidimensional $\langle v,w\rangle$ .

También puedes arreglar $v$ y pensar en $\langle v, w \rangle$ en función de $w$ . Entonces esto también define una transformación lineal $\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$ .

En otras palabras, el producto punto es lineal en cada variable.

En realidad, hay una forma de pensar en el producto punto como una transformación lineal. Considera el función (no es una transformación lineal, sólo una función) $f: \mathbb R^n \times \mathbb R^n \rightarrow \operatorname{Mat}_n(\mathbb R)$ dado por la fórmula

$$f(a_1, ... , a_n, b_1, ... , b_n) = C$$

donde $C$ es el $n$ por $n$ matriz cuya $ij$ Esta entrada es $a_ib_j$ . Entonces existe un único transformación lineal $T: \operatorname{Mat}_n(\mathbb R) \rightarrow \mathbb R$ tal que

$$T(f(v,w))$$

es igual al producto punto de $v$ y $w$ para todos $v, w \in \mathbb R^n$ (¿puede ver lo que $T$ y por qué es único). Este es un caso especial del principio más general de que los mapas multilineales se identifican con las transformaciones lineales sobre el producto tensorial.

Answer 2

Hay un par de maneras de ver un producto de puntos como un mapa lineal cambiando ligeramente la vista.

El mapa $\langle \cdot,\cdot \rangle : V\times V\to F$ no es lineal, es lo que llamamos bilineal lo que significa que es lineal en cada variable. Es decir, un mapa $B : V\times V' \to W$ es bilineal si para todos los fijos $v\in V$ y todos los fijos $v'\in V'$ los mapas $u'\mapsto B(v, u')$ y $u\mapsto B(u, v')$ son lineales. (Aunque estos mapas son iguales en el caso de un producto punto, ya que es simétrico, por lo que sólo hay que comprobar que uno es lineal. Simétrico significa que $\langle v, w\rangle= \langle w, v\rangle$ )

El otro punto de vista es quizás un poco más fiel a la idea de ver el producto de puntos como un mapa lineal, pero esencialmente equivalente. Aunque quizás sea un poco más abstracta (aunque tales juicios son inherentemente subjetivos).

La idea es que podemos tomar un mapa bilineal $B: V\times V' \to W$ y convertirlo en un mapa lineal $\tilde{B}: V\to \newcommand\Hom{\operatorname{Hom}}\Hom_F(V',W)$ . En el sitio web $\Hom_F(V',W)$ denota el espacio vectorial de $F$ -mapas lineales de $V'$ a $W$ . Definimos $\tilde{B}(v) = v'\mapsto B(v,v')$ . Entonces se puede utilizar la propiedad definitoria de los mapas bilineales dada anteriormente para demostrar que $\tilde{B}$ es lineal, y para cualquier $v\in V$ , $\tilde{B}(v)$ es un mapa lineal desde $V'$ a $W$ . Este proceso se denomina currying . Entonces $\tilde{B}$ es básicamente lo mismo que $B$ ya que podemos recuperar $B$ de $\tilde{B}$ del hecho de que $B(v,v')=(\tilde{B}v)v'$ (perdón por cambiar la notación a la aplicación de la función sin paréntesis, simplemente creo que es mucho más legible aquí).

Por lo tanto, se puede curar el producto punto para obtener un mapa lineal, llamándolo $D$ de $V$ a $\Hom_F(V,F)$ . En general, $\Hom_F(V,F)$ es un espacio vectorial llamado $V$ -dual , a menudo escrito $V^*$ Así que podemos decir $D$ es un mapa lineal desde $V$ a $V^*$ . Es decir, podemos ver el producto punto como equivalente a un determinado mapa lineal agradable de $V$ a $V^*$ .

Answer 3

Esta respuesta considera no sólo el producto punto sino en general los mapeos bilineales a un espacio vectorial diferente: $U\times V\to W$ . Formalmente su definición va en la línea dada en la respuesta de jgon. Sólo se permite que el dominio y el codominio sean más generales. Existe una construcción llamada producto tensorial de dos espacios vectoriales $U$ y $V$ . Este producto tensorial, denotado por $U\otimes V$ es un dispositivo para "convertir" los mapeos bilineales en mapeos lineales. Así que cada mapeo bilineal anterior será representado de forma equivalente por una transformación lineal $U\otimes V\to W$ .

Esto es parecido a la construcción de cocientes, digamos que en los grupos, cualquier homomorfismo $f\colon G\to H$ es equivalente a un homomorfismo inyectivo $\tilde f \colon G/\ker f\to H$ . Por favor, las páginas de la wikipedia para la construcción de productos tensoriales.