Serie de medios geométricos converge

Question

Estoy tratando de probar lo siguiente:

Deje $\{b_{n}\}_{n \ge 1}$ ser una secuencia de estrictamente positiva en términos tales que $$\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$$ converge. Set $\gamma_{n} = (b_{1} \cdots b_{n})^{1/n}$. Probar $$\sum_{n = 1}^{\infty}\gamma_{n}$$ converge.

Intento: Dejando $b = \sum b_{n}$, y el uso de AM-GM: \begin{align*} \sum_{n = 1}^{\infty}(b_{1} \cdots b_{n})^{\frac{1}{n}} &< \sum_{n = 1}^{\infty}b_{1}\cdots b_{n} \\ &< \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{n}}(b_{1}+\cdots+b_{n})^{n} \\ &< \sum_{n = 1}^{\infty}\left(\frac{b}{n}\right)^{n} \end{align*} Esta última serie converge por la raíz de la prueba, por lo $\sum\gamma_{n}$ converge en comparación, dado $b_{1} \cdots b_{n} \ge 1$ todos los $n$. Si $b_{1} \cdots b_{n} < 1$ finitas $n$, entonces podemos reducir este caso al argumento de la anterior mediante la adición de una lo suficientemente grande constante a $\sum(\frac{b}{n})^{n}$. Mi problema es que no sé cómo lidiar con el caso: $b_{1} \cdots b_{n} < 1$ infinitas $n$...

Answer 1

Usando AM-GM,

ps

Usando la desigualdad$$\gamma_n = \left(\prod_{k=1}^n b_k\right)^{1/n} = \left(\frac{1}{n!}\prod_{k=1}^nkb_k\right)^{1/n} \leqslant \frac{1}{n(n!)^{1/n}}\sum_{k=1}^n k b_k$ tenemos

ps

y la convergencia de$(n!)^{-1/n} \leqslant e/(n+1)$ implica la convergencia de$$\sum_{n=1}^m \gamma_n \leqslant \sum_{n=1}^m\frac{1}{n(n!)^{1/n}}\sum_{k=1}^n k b_k = \sum_{n=1}^m\frac{1}{n(n!)^{1/n}}\sum_{k=1}^m k b_k \mathbf{1}_{k \leqslant n} \\ = \sum_{k=1}^m b_k k\sum_{n=k}^m\frac{1}{n(n!)^{1/n}} \\\leqslant \sum_{k=1}^m b_k k\sum_{n=k}^m\frac{e}{n(n+1)} \\ \leqslant \sum_{k=1}^m b_k k\sum_{n=k}^\infty\frac{e}{n(n+1)} \\= e \sum_{k=1}^mb_k, $.

Answer 2

Aquí es otra variación del tema mediante la introducción de factores para asegurar la convergencia al aplicar AM-GM.

Obtenemos \begin{align*} \color{blue}{\sum_{n=1}^\infty}&\color{blue}{\left(b_1b_2\cdots b_n\right)^{1/n}}\\ &=\sum_{n=1}^\infty\frac{\left(b_1c_1b_2c_2\cdots b_nc_n\right)^{1/n}}{\left(c_1c_2\cdots c_n\right)^{1/n}}\tag{1}\\ &\leq \sum_{n=1}^\infty\frac{b_1c_1+b_2c_2+\cdots+ b_nc_n}{n\left(c_1c_2\cdots c_n\right)^{1/n}}\tag{2}\\ &=\sum_{n=1}^\infty b_nc_n\sum_{j=n}^\infty\frac{1}{j\left(c_1c_2\cdots c_j\right)^{1/j}}\tag{3}\\ &=\sum_{n=1}^\infty b_nc_n\sum_{j=n}^\infty \frac{1}{j(j+1)}\tag{4}\\ &=\sum_{n=1}^\infty b_n\frac{c_n}{n}\tag{5}\\ &=\sum_{n=1}^\infty b_n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\tag{6}\\ &\,\,\color{blue}{\leq e\sum_{n=1}^\infty b_n}\tag{7} \end{align*}

y el reclamo de la siguiente manera.

Comentario:

• En (1) se introduce factores de $c_j$, lo que vamos a configurar correctamente para asegurar la convergencia de la serie.

• En (2) se aplica el AM-GM.

• En (3) vamos a hacer algunos reordenamientos.

• En (4) el conjunto inductivo $(c_1c_2\cdots c_j)^{1/j}=j+1$ lo que nos da un muy bien telescópico de la serie.

• En (5), usamos la propiedad telescópica $\sum_{j=n}^\infty\frac{1}{j(j+1)}=\sum_{j=n}^\infty\left(\frac{1}{j}-\frac{1}{j+1}\right)=\frac{1}{n}$.

• En (6) nos encontramos con $$c_n=\frac{c_1c_2\cdots c_n}{c_1c_2\cdots c_{n-1}}=\frac{(n+1)^n}{n^{n-1}}=n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$.

• En (7), usamos la enlazado $1+x< e^x$$x=\frac{1}{n}, n=1,2,\ldots$.

Nota:

• La desigualdad (7) es conocido como Carleman la Desigualdad.

• Esta respuesta se desprende que la solución del Problema 2.4 en El Cauchy-Schwarz Master Class por J. M. Steele.

Answer 3

También puedes probar esto usando la desigualdad de Hardy :

Establecer$a_n=\sqrt b_n.$ Entonces tenemos$\sum_{n=1}^\infty b_n = \sum_{n=1}^\infty a_n^2 <\infty.$ Ahora escribir

\begin{align} \sum_{n=1}^\infty \gamma_n &= \sum_{n=1}^\infty ((a_1\cdots a_n)^{1/n})^2 \\ &\le \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k\right)^2 \\ &< 4\sum_{n=1}^\infty a_n^2 < \infty. \end{align}