Deje $f:[0,\infty [\to \mathbb R$ no negativo de la función s.t. $f(t)e^{-pt}$ es integrable para todos los $p\in\mathbb R$. Set $$F(p)=\int_0^\infty f(t)e^{-pt}dt.$$ Calcular $$\lim_{h\to 0}\frac{F(p+h)-F(p)}{h}.$$
Primer intento
Tengo que $$\left|\frac{F(p+h)-F(p)}{h}\right|\leq\int_0^\infty f(t)e^{-pt}\left|\frac{e^{-ht}-1}{h}\right|dt.$$
Quiero demostrar que la $$\lim_{h\to 0}\int_0^\infty f(t)e^{-pt}\left|\frac{e^{-ht}-1}{h}\right|dt=\int_0^\infty \lim_{h\to 0}f(t)e^{-pt}\left|\frac{e^{-ht}-1}{h}\right|dt.$$
Tengo que $$e^{-x}=1+O(x),$$ es decir, $C>0$ $\delta>0$ s.t. $$|e^{-x}-1|\leq C|x|,$$ y así, si $|ht|\leq \delta$, tenemos que $$\left|\frac{e^{-ht}-1}{h}\right|\leq Ct,$$ es decir, si $|h|\leq \frac{\delta}{t}$ , $$\left|\frac{e^{-ht}-1}{h}\right|\leq Ct\tag{E}$$
Sé que si me hubiera $(E)$ todos los $|h|\leq \delta$ durante un cierto $\delta$, entonces puedo concluir. Pero desde que he a $E$ $|h|\leq \frac{\delta}{t}$ (es decir, yo no puedo ponerme un uniforme límite superior para $h$), supongo que es un problema. Así que, ¿cómo puedo concluir ?
Segundo intento
Me puse a $g(t,p)=f(t)e^{-pt}$ $$\int_0^\infty g(t,p)\left|\frac{e^{-ht}-1}{h}\right|dt=\int_{0}^\infty g(t,p)\left|\frac{e^{-ht}-1}{-ht}\right|dt.$$
Yo diría que desde $e^{-ht}=1-ht+o(h)$ al$h\to 0$, $$\int_{0}^\infty g(t,p)\left(\frac{e^{-ht}-1}{-ht}\right)dt=\int_{0}^\infty g(t,p)(1+o(h))dt$$ $$=\int_0^\infty tg(t,p)dt+o(h)\int_0^\infty g(t,p)dt\underset{h\to 0}{\longrightarrow } \int_0^\infty g(t,p)dt,$$
Pero realmente tengo la duda con todo lo que estoy haciendo aquí. En primer lugar, yo no estoy convencido con $$e^{-ht}=1-ht+o(h),$$ puesto que el $o(h)$ debe tener una dependencia de la $t$. De hecho $$e^{-ht}=1-ht+o_t(h),$$ looks mor correct, and thus, I can't take of the $o_t(h)$ of the integral since it depend on $t$. So I would say : there is $\varepsilon:\mathbb R\to \mathbb R$ s.t. $$e^{x}=1+x+x\varepsilon(x),$$ donde $\lim_{x\to 0}\varepsilon(x)=0.$ $$e^{-ht}=1-ht+ht\varepsilon(ht),$$ y por lo tanto $$\int_{0}^\infty g(t,p)\left(\frac{e^{-ht}-1}{-ht}\right)dt=\int_0^\infty g(t,p)(1+th\varepsilon(t))dt=\int_0^\infty g(t,p)dt+h\int_0^\infty g(t,p)\varepsilon(th)dt.$$ Ahora, tengo que calcular $$\lim_{h\to 0}h\int_0^\infty tg(t,p)\varepsilon(ht)dt.$$ Tenemos $\lim_{h\to 0}\varepsilon(ht)=0$ todos los $t$. Puede ser que Hay $\delta>0$ $M>0$ (independiente de $t$).t. $|\varepsilon(xt)|\leq M$, así que me gustaría hacer, pero, por desgracia, lo mejor que puedo conseguir es : si $t>0$ es fijo, es $\delta=\delta_t>0$ s.t. $$|h|\leq \delta_t \implies |\varepsilon(xt)|\leq 1,$$ y por lo tanto el $\delta$ todavía dependen de la $t$.
