Usted realmente está preguntando acerca de la funcional se itera, normalmente se denota por a $f^ n(x)\equiv \nest(f, x, n)$. Deduzco que usted está interesado en métodos de resolución de problemas más de rigor.
Que normalmente se obtienen por iteración funcional a través de Schröder de la ecuación, pero incluso su simple cuadrática $p(x)=x^2+c$ no se han cerrado las soluciones, excepto, por ejemplo, para $c=-2$, un "caótico" logística mapa , como se puede ver en los ejemplos en el WP artículo enlazado más arriba.
En ese célebre caso especial, una forma cerrada (p302) fue encontrado por Ernst Schroeder sí mismo (1870).
Es decir, para
$$
p(x)= x^2-2,
$$
de ello se deduce directamente que para
$$
y=\frac{x\pm \sqrt{x^2-4}}{2}
$$
que es
$$
x=y+y^{-1},
$$
uno tiene
$$
p(x)=y^2+y^{-2}\equiv p^1 (x).
$$
De dónde,
$$
p^n (x)= y^{2^n}+ y^{-2^n}.
$$
Más formalmente, en la E. S. idioma de conjugacy,
$$
\psi(p(x))=g(\psi(x)),\\
\psi(x)=\frac{x\pm \sqrt{x^2-4}}{2}\\
g(y)=y^2 \qquad \Longrightarrow \\
g^n(y)=y^{2^n};$$
de modo que $p(x)= \psi^{-1} \circ g \circ \psi (x)$, y
$$p^n= \psi^{-1} \circ g^n \circ \psi ~.$$
Yo soy la restricción de este real variables y dominios donde los objetos tratados sentido. Su pregunta $f^k (x)=x^2-2=p(x)$, a continuación, puede producir $p^{1/k}(x)$ para el adecuado dominios para explorar. Hay, por supuesto, una gran cantidad de la solución de búsqueda de textos sobre el tema, como C Efthimiou la Introducción a las Ecuaciones Funcionales, AMS 2011, ISBN: 978-0-8218-5314-6 , en línea. Un conjugacy iteración del método de aproximación está disponible en nuestro papel de 2011: soluciones Aproximadas de las ecuaciones Funcionales.
