¿De cuántas maneras existen para dividir %#% de #% las personas en dos grupos de $10$?

Question

En el ejemplo a continuación pongo la primera parte. Puedo saber por qué se está dividiendo por 2 para la segunda parte? Estoy preguntando, porque siento que la respuesta para la segunda parte debe también ser $\binom{10}{5}$.

En la primera parte simplemente por la elección de 5 personas, ya estamos de dividir el equipo en dos equipos. Así que yo no veo una diferencia entre las partes 1 y 2. Ayuda?

Ejemplo

Hay diez personas en un equipo de basquetbol. Averiguar cuántas maneras:

1. la partida de cinco años puede ser elegido de la lista de convocados
2. el equipo se puede dividir en dos equipos de cinco.

Solución

1. Hay $\binom{10}{5} = \frac{10\times9\times8\times7\times6}{5\times4\times3\times2\times1} = 252$ maneras de elegir la partida de cinco años.
2. El número de maneras de dividir el equipo en dos equipos de cinco es $\frac{252}{2} = 126$.

Answer 1

En el primero, hay una diferencia entre los dos resultante de los equipos. Uno está jugando, el otro está sentado en el banquillo. De modo que el intercambio de los dos equipos alrededor hace que para una opción diferente a partir de cinco años.

En el segundo caso, no hay ninguna diferencia. La única cosa que importa es quién está en el equipo con el que, y no se que equipo es el equipo y en qué equipo es el equipo de B. por tanto, el intercambio de los dos equipos de todo aún le da la misma elección de los dos equipos.

También se puede ir por el otro camino: el de Elegir una partida de cinco años en primera división en dos equipos (que se puede hacer en un número de maneras), luego de elegir cual de los dos equipos llega a ser la partida de cinco años. Usted tiene dos opciones para iniciar cinco para cada división en dos equipos. Por lo tanto usted tiene que multiplicar por 2 para obtener de uno a otro.

Answer 2

Observe que la opción de elegir cinco personas y otra cinco se cuentan por separado en el primer caso, pero producen la misma separación en dos grupos en la segunda. Por eso hay división por $2$.

Answer 3

Tenga en cuenta que cuando elegimos $\binom{10}{5}$ estamos contando dos veces los mismos equipos, como por ejemplo

$$ { A,B,C,D,E } , { G,H,I,L,M } \equiv { G,H,I,L,M },{A,B,C,D,E}$$

por lo tanto el número de maneras de obtener 2 equipos es $\frac12 \binom{10}{5}$.

Answer 4

En el primer caso, cada elección es acerca de la selección de 5 fuera de diez, digamos que de $\{A,B,C,D,E,F,G,H,I,J\}$. Tenga en cuenta que la selección de $\{A,B,C,D,E\}$ id diferente, que la selección de $\{F,G,H,I,J\}$.

En el segundo caso, selecciona 5, pero los otros 5 son también formando un equipo. Por tanto, su selección es, por ejemplo,$\{\{A,B,C,D,E\},\{F,G,H,I,J\}\}$. Esta selección es la misma, como la selección de $\{\{F,G,H,I,J\},\{A,B,C,D,E\}\}$. Así, en el camino, que forman dos equipos mediante la selección de 5 personas a uno y el resto a otro conduce a la duplicación de las selecciones. Por lo tanto, es necesario dividir por el número de permutaciones de los equipos, es decir,$2!$.

Answer 5

Imagina que eres uno de los $10$ jugadores. En ambos casos es necesario determinar quién es su $4$ compañeros de equipo va a ser, fuera de los otros $9$ jugadores. Esto se puede hacer en $\binom{9}{4} = 126$ maneras.

Ahora, si los dos equipos son tratados de forma diferente, como un equipo llega a jugar, mientras que el otro equipo tiene que sentarse en el banco, luego (una vez que haya determinado sus compañeros de equipo) usted todavía tiene que determinar cuál de las $2$ posibles asignaciones su equipo obtiene. Los dos resultados son bastante diferentes para usted, así que tiene que contar de manera diferente. Hay, pues, $2\binom{9}{4} = 252$ resultados posibles.

Por otro lado, si no hay ninguna diferencia entre los equipos, como si los dos equipos sólo se va a jugar el uno al otro, entonces no son tratados de manera diferente. Realmente no es posible distinguir entre los siguientes casos:

(I) Usted, Alice, Bob, Charlie y Danielle se va a jugar en contra de los otros cinco jugadores

o

(II) Los otros cinco jugadores van a jugar en contra de usted, Alice, Bob, Charlie y Danielle.

Tanto en (I) y (II) describen el mismo evento. Ese evento no debe ser contado dos veces. Así que hay sólo $\binom{9}{4} = 126$ resultados posibles aquí.