¿Se ha descrito alguna vez la noción de tener una cantidad compleja de dimensiones? ¿Y qué hay de la dimensionalidad negativa?

Question

La noción de tener un número $a \in \mathbb{R}_{\geq 0} $ asociado a cualquier espacio métrico se describe mediante la definición de un " Dimensión de Hausdorff ". Me preguntaba si se ha trabajado en espacios que (parecen) tener una cantidad compleja de dimensiones asociadas? ¿Existe este concepto? Si es así, ¿cuándo es útil, si es que lo es?

Inspirado por los comentarios, también me interesa saber si ya se ha explorado el concepto de dimensionalidad negativa.

Gracias de antemano.

Answer 1

En realidad, es mucho más fácil hablar de la dimensión negativa que de la dimensión compleja. Superespacios vectoriales son una colección natural de objetos que pueden tener dimensión negativa; dado un súper espacio vectorial $(V_0, V_1)$ podemos definir su dimensión como $\dim V_0 - \dim V_1$ y esta definición tiene muchas buenas propiedades; véase esta entrada del blog por ejemplo.

De forma más general, existe una noción natural de dimensión en cualquier categoría monoidal (¿trenzada?) con duales (véase Trazos en categorías monoidales simétricas de Ponto y Shulman para una definición y una discusión exhaustiva). Incluye como caso especial muchas nociones de Característica de Euler y en particular es frecuentemente negativo, aunque no siempre es un número; en general toma valores en el monoide $\text{End}(I)$ donde $I$ es el objeto de identidad. (Si la categoría es preaditiva con el producto monoidal que distribuye sobre la adición de morfismos, entonces $\text{End}(I)$ es un anillo, y se puede preguntar si es isomorfo a un subring de $\mathbb{C}$ .)

Answer 2

Las pilas algebraicas son una generalización de gran alcance de las variedades algebraicas. Si una variedad algebraica se considera como una pila, su dimensión como pila es la misma que su dimensión como variedad. Sin embargo, hay muchas pilas que no corresponden a variedades, y algunas de ellas tienen dimensión negativa.

En concreto, si $V$ es una variedad y $G$ es un grupo algebraico que actúa sobre $V$ , entonces siempre podemos formar la pila de cocientes $[V/G]$ (que en la mayoría de los casos no será una variedad). Entonces tenemos $$\dim([V/G])=\dim(V)-\dim(G)$$ que bien puede ser negativo. Por ejemplo, si deja que $G$ actuar de forma trivial en un punto $P$ , entonces la pila de cocientes $[P/G]$ , conocida como la pila clasificadora de $G$ tendrá la dimensión $\dim([P/G])=-\dim(G)$ .

El mismo juego se puede llevar a cabo con pilas diferenciables, colectores suaves y grupos de Lie que actúan sobre esos colectores. También: pilas topológicas, colectores topológicos y grupos topológicos que actúan sobre esos colectores.

Answer 3

Una noción de dimensión compleja que se ha utilizado mucho tiene que ver con los conjuntos autosimilares. A $t$ -vecindad (es decir, puntos dentro de la distancia $t$ ) de dicho conjunto puede tener un volumen $v(t)$ delimitado por encima y por debajo por múltiplos constantes de $t^d$ , donde $d$ es la dimensión de la frontera y $t$ es pequeño, pero tal que $t^{-d} v(t)$ es oscilante y no convergente como $t$ se reduce a cero. En este caso, la información oscilante puede describirse a veces utilizando una potencia compleja de $t$ . Si $v(t)=t^{d+ci}= t^d \exp(ic \log t)$ se podría pensar que la dimensión es $d+ci$ . En general, los conjuntos tendrán muchas dimensiones complejas. Hay aplicaciones a la asintótica de Weyl y conexiones con la teoría de números (funciones zeta espectrales).

Para más detalles, véase el trabajo de Michel Lapidus (sobre cuerdas fractales) o el artículo de Erin Pearse sobre las dimensiones complejas de los sistemas autosimilares.

Answer 4

Interesante pregunta.

La dimensión de Hausdorff se define como un mínimo sobre un subconjunto de los reales positivos. Eso significa que es positiva y real por definición, así que si se busca la forma de que un espacio tenga una dimensión negativa o compleja, habrá que generalizar la dimensión de Hausdorff de alguna manera o utilizar alguna otra definición de dimensionalidad.

Hay otras formas de definir la dimensionalidad.

La dimensión de cobertura de Lebesgue es un número entero no negativo por definición.

La dimensión inductiva se define por inducción. Si empiezas con un número que no es un entero no negativo, entonces la inducción no terminará con un punto de dimensión cero.

El teorema de Nöbeling-Pontryagin y el teorema de Menger-Nöbeling pueden limitar lo que se puede hacer aquí. Parecen implicar que su espacio tiene que ser o bien no normal o bien no contable, o bien podría estar relacionado de cierta manera con $\mathbb{R}^n$ , lo que hace que parezca improbable que pueda tener una dimensión negativa o compleja.

Encontrar alguna motivación para una noción generalizada de dimensión que podría ser negativa o compleja:

(1) Si es negativo, eso sugiere que quiere estudiar situaciones en las que es sensato restar dimensiones a los espacios.

(2) Si es complejo, eso sugiere pensar en cuándo es sensato multiplicar las dimensiones, porque los números complejos no tienen interés si no se pueden multiplicar. Además, ¿en qué se diferenciaría un espacio de dimensión i de un espacio de dimensión -i?

Answer 5

He pensado en permitir un valor negativo de $d$ en la definición dada en el artículo en el OP. Mis definiciones no ampliar La dimensión de Hausdorff, pero considera una interpretación alternativa de la propia dimensión como números no positivos en lugar de números no negativos.

Me parece que las definiciones de la dimensión de Hausdorff ofrecen poco margen para generalizar en dimensiones negativas: habría que admitir valores de $d$ que son negativos en la definición de $\dim_H(X)$ Y no veo que eso juegue muy bien con el infimo que está metido ahí.

Tal y como está el artículo que has enlazado, tenemos esto $C_H^d$ (el "contenido de Hausdorff") que toma como entrada algún conjunto en un espacio métrico $X$ y escupe la menor de las sumas de la forma $\displaystyle\sum_{i} r_i^d$ donde $\{r_i\}$ es un conjunto de números reales que definen los radios de una colección de bolas abiertas que cubren $D$ .

En el artículo, el valor de $d$ se permite que crezca sin límite, pero para compensar eso tomamos el infimo (para "filtrar las grandes sumas"). Entonces, creo que es razonable que permitir un valor negativo de $d$ significaría que probablemente querríamos buscar una función como esta

$$C_{\tilde{H}}^d = \displaystyle\sup_{d < 0} \left\{ \displaystyle\sum_i r_i^d \right\},$$

donde $\{r_i\}$ se define de la misma manera que para $C_H^d$ . Esta vez utilizamos un $\sup$ para compensar la falta de límites de $d$ hacia $-\infty$ (para "filtrar las sumas pequeñas").

Ahora, en el artículo, utilizan la función $C_H^d$ para definir esta otra función $\dim_H$ (la dimensión de Hausdorff) donde $\dim_H(D) = \inf\{d \geq 0 \colon C_H^d(D) = 0\}$ . Desde el $d$ en el original creció sin límite, el filtro de los grandes y terminar con el infimum.

Lo que debemos hacer ahora está claro: definir el dimensión de Hausdorff no positiva

$$\dim_{\tilde{H}}(D) = \sup \{d < 0 \colon C_{\tilde{H}}^d(D) = 0 \}.$$

¿Resulta esto algo nuevo? ¿Es la dimensión de Hausdorff no positiva de un conjunto simplemente el negativo de la dimensión de Hausdorff positiva? ¿Es la dimensión de Hausdorff de una línea (que normalmente tiene dimensión de Hausdorff $1$ ) simplemente $-1$ ¿o es más interesante? Algunas conjeturas que habría que investigar para averiguarlo:

Conjetura: $\dim_{\tilde{H}}(\emptyset) = 0$ ?

Conjetura: Teorema (utilizando el $C_{\tilde{H}}^d$ abajo): $\dim_{\tilde{H}}(\{1,2,3\}) = 0$

Conjetura: $\dim_{\tilde{H}}(LINE) = -1$ ?

Conjetura: $\dim_{\tilde{H}}(PLANE) = -2$ ?

Conjetura: $\dim_{\tilde{H}}(CANTOR SET) = -\frac{\log(2)}{\log(3)}$ ?

Si estas conjeturas son ciertas, entonces sospecho que esta formulación alternativa de la dimensión es bastante aburrida, ya que no nos dice nada que no supiéramos ya. Si no es así, estoy interesado en ver qué pasa.

Por supuesto, esta idea podría generalizarse fácilmente para permitir valores complejos $d$ 's. Puede que tengamos que lanzar un módulo ahí, pero podría funcionar de forma similar. De hecho, podríamos elegir de alguna manera dimensiones de valor complejo con valores complejos $d$ o lo devuelve a los reales mientras utiliza valores complejos $d$ y tomando módulos. Hay muchas posibilidades de encontrar algo interesante.

---

adición:

Me tomé el tiempo de mostrar que $\dim_{\tilde{H}}(\{1\}) = 0$ . Antes de eso, mientras hacía esto, decidí que deberíamos usar esta definición de $C_{\tilde{H}}^d$ (nota: he añadido un signo negativo a la definición anterior):

$$C_{\tilde{H}} = \displaystyle\sup_{d < 0} \left\{ -\displaystyle\sum_i r_i^d \right\}.$$

Aquí estamos tomando el negativo de la suma (por qué esto era importante se verá pronto). Por el momento, fijemos $d=-1$ como será ilustrativo de la arbitrariedad $d<0$ . Entonces,

$$\begin{array}{ll} C_{\tilde{H}}^d(\{1\}) &= \displaystyle\sup_{d < 0} \left\{ -\displaystyle\sum_i r_i^d \right\} \\ &= \displaystyle\sup_{d < 0} \left\{ - \frac{1}{r_1} \right\} \\ \end{array}.$$

donde $r_1$ es el radio de cualquier bola abierta que cubra $\{1\}$ . Estamos buscando el supremum de un conjunto de números negativos, por lo que queremos hacer $\frac{1}{r_1}$ lo más pequeño posible (para que $-\frac{1}{r_1}$ sea lo más grande posible), lo que implica que $C_{\tilde{H}}^{-1}(\{1\})=0$ . ( NOTA: por eso he modificado la definición de $C_{\tilde{H}}^d$ -- si no lo pusiéramos ahí, entonces tendríamos que deducir $C_{\tilde{H}}^{-1}(\{1\}) = \infty$ haciendo $r_1$ ¡arbitrariamente pequeño! Esto es un gran problema porque no tendremos ningún $d$ tal que $C_{\tilde{H}}^d(\{1\})=0$ por lo que la dimensión no estará definida. )

Ahora bien, fíjese en que obtendremos este mismo comportamiento independientemente del $d \in (-\infty,0)$ elegimos, dando como resultado $C_{\tilde{H}}^d(\{1\})=0$ . Así que por definición,

$$\dim_{\tilde{H}}(\{1\}) = \sup \{d < 0 \colon C_{\tilde{H}}^d(D) = 0 \} = 0,$$

desde $0$ es el sumo de $(-\infty,0)$ . $\blacksquare$

El mismo proceso se puede utilizar en el plató $\{1,2,3\}$ Así que resuelvo la conjetura anterior, bajo el supuesto de que utilizamos el $C_{\tilde{H}}$ (con el signo negativo).

Como no estoy familiarizado con las técnicas para demostrar que la dimensión de Hausdorff de una línea es $1$ No puedo seguir adelante con facilidad.