Cómo resolver $\frac{1}{2^x+3} \geq \frac{1}{2^{x+2}-1}$ ?

Question

Supongo que es fácil, pero sigo necesitando ayuda. La desigualdad es $$\frac{1}{2^x+3} \geq \frac{1}{2^{x+2}-1}$$ Si se fija $t=2^x$ , entonces se convierte en $$\frac{1}{t+3} \geq \frac{1}{4t-1}$$

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El conjunto de soluciones es $$x \in (-\infty,-2) \cup \{1\}$$ que no es lo que consigo.

Mi intento

$$\frac{1}{2^x+3} \geq \frac{1}{2^{x+2}-1}$$ Esto no está definido para $x=-2$ porque el lado derecho se convierte en $\frac{1}{2^{-2+2}-1}=\frac{1}{2^0-1}=\frac{1}{1-1}=\frac{1}{0}$ . Por lo tanto, $$x \neq -2$$ Ahora, pongamos $t=2^x$ . $$\frac{1}{t+3} \geq \frac{1}{4t-1}$$ Multiplica ambos lados por $(t+3)(4t-1)$ . Debemos dividir la desigualdad porque no sabemos es $(t+3)(4t-1)$ positivo o negativo. Pregunta: ¿y si es cero? ¿Debemos considerar también esa posibilidad?

Para $(t+3)(4t-1) > 0$ : $$4t-1 \geq t+3$$ $$3t \geq 4$$ $$t \geq \frac{4}{3}$$ $$2^x \geq \frac{4}{3}$$ $$x \geq \log_2 \left(\frac{4}{3}\right)$$

Para $(t+3)(4t-1) < 0$ : $$4t-1 \leq t+3$$ $$3t \leq 4$$ $$t \leq \frac{4}{3}$$ $$2^x \leq \frac{4}{3}$$ $$x \leq \log_2 \left(\frac{4}{3}\right)$$

Creo que ya es obvio dónde y cómo me equivoco, así que creo que no es necesario continuar con este intento. Si lo hago, entonces por favor pregunte en el comentario.

Answer 1

Continúe con sus esfuerzos, $2^x = t$ ya implica $t \gt 0$ . $$\frac{1}{t+3}- \frac{1}{4t-1} \ge 0\\ \frac{3t-4}{(t+3)(4t-1)}\ge 0$$

Resolviendo esta desigualdad con la ayuda de los puntos cero de los tres factores, se obtiene $t\in (-3,1/4) \cup [4/3, \infty) $ pero también tuvimos $t\gt 0$ . Así que la respuesta final es $t \in (0,1/4) \cup [4/3, \infty)$ .

Así que $x \in (-\infty, -2) \cup [2-\log_2(3), \infty)$

Answer 2

La solución dada es claramente errónea en el lado positivo. Por ejemplo, tomemos $x=2$ y $$ \frac17=\frac{1}{2^x+3}\geq\frac{1}{2^{x+2}-1}=\frac1{15}. $$

Desde $t=2^x$ sabes que $t>0$ . Así que $t+3>0$ . Ahora bien, si $4t-1>0$ Todo es positivo y se puede multiplicar para conseguir $$ 4t-1\geq t+3, $$ que se simplifica a $3t\geq4$ o $t\geq4/3$ .

Si, por el contrario, $4t-1<0$ , la desigualdad se invertirá si multiplicamos por ella. Así obtenemos $$ 4t-1\leq t+3, $$ que es $t\leq 4/3$ . Esto fue bajo la hipótesis $t<1/4$ , por lo que obtenemos $t<1/4$ .

En resumen, la desigualdad se mantiene cuando $t<1/4$ y cuando $t\geq 4/3$ .

Ahora traducimos a $x$ . La igualdad $2^x=1/4$ da $x=-2$ . La igualdad $2^x=4/3$ , da $x=\log_24-\log_23=2-\log_23$ . Por lo tanto, la desigualdad es válida para $$ x\in(-\infty,-2)\cup[2-\log_23,\infty) $$

Answer 3

Teniendo en cuenta que $t>0$ el LHS es no negativo y la inecuación se cumple ciertamente para $$t\lt\frac14.$$ Entonces para $t>\dfrac14$ el lado derecho es también no negativo y necesitamos

$$t+3\le4t-1$$ o

$$t\ge\frac43.$$

Por lo tanto,

$$x<\log_2\frac14\lor x\ge \log_2\frac43.$$