Cómo obtener la aproximación $\tan(x)\simeq \frac{x}{1-x^2/3}$

Question

Me preguntaba cómo se podría obtener el

$$\tan(x)\simeq \frac{x}{1-x^2/3}$$

válido para pequeñas $x$ valores.

Esto es similar a la proporción del pequeño $x$ ampliaciones de $\sin(x)$ un $\cos(x)$ Sin embargo, eso produciría

$$\tan(x)\simeq \frac{x}{1-x^2/2}$$

así que me he quedado un poco confuso. Muchas gracias de antemano.

EDIT: En mis notas esto parece ser algún tipo de aproximación de fracción recursiva. Una segunda versión que he escrito es:

$$ \tan(x)\simeq %%% \frac{\lambda} {1-\frac{\lambda^2}{3-\frac{\lambda^2}{5-\lambda^2/2}}} $$

EDIT: ¡Gracias por vuestras magníficas respuestas! También puede encontrar este derivado en las referencias a la Ecuación 33 aquí: http://mathworld.wolfram.com/Tangent.html

Wall, H. S. (1948). Teoría analítica de fracciones continuas. pág. 349

C.D., O. (1963). Fracciones continuas. pág. 138

Answer 1

Esta relación puede derivarse utilizando un Aproximante de Pade . Definir una función

$$ R(x) = \frac{a_0 + a_1 x + \cdots + a_m x^m}{1 + b_1 x + \cdots + b_n x^n} $$

Eso concuerda con $f$ hasta cierto orden

$$ \left.\frac{{\rm d}^kf}{{\rm d}x^k}\right|_{x=0} = \left.\frac{{\rm d}^kR}{{\rm d}x^k}\right|_{x=0} ~\mbox{for} k = 0, 1, \cdots $$

Así que en su ejemplo, tome $m=1$ y $n=2$ y $f(x) = \tan(x)$ esto conduciría a las ecuaciones

\begin{eqnarray} a_0 &=&0 \\ a_1 - a_0 b_1 &=& 1 \\ -2a_1 b_1 + a_0(2b_1^2 - 2b_2) &=&0 \\ 3a_1(2 b_1^2 - 2b_2) + a_0(-6b_1^3 + 12 b_1 b_2) &=& 2 \end{eqnarray}

cuya solución es

$$ a_0 = 0, a_1 =1, b_1 = 0\mbox{and} b_2=-1/3 $$

Es decir

$$ \tan(x) \approx \frac{x}{1 - x^2/3} $$

¡que se agrava hasta la cuarta derivada!

Answer 2

Recordemos que

$$\tan(x)= x+\frac13x^3+o(x^3)$$

y por expansión binomial como $x\to 0$

$$\frac{x}{1-x^2/3}=x(1-x^2/3)^{-1}\sim x+\frac13x^3$$

así

$$\tan(x)\sim x+\frac13x^3\sim \frac{x}{1-x^2/3}$$

Tenga en cuenta que a partir de aquí

$$\tan(x)=\frac{\sin x}{\cos x}$$

para obtener el mismo resultado necesitamos expandir al 3er orden es decir

$$\tan(x)=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{x-\frac16x^3+o(x^3)}{1-\frac12x^2+o(x^3)}=(x-\frac16x^3+o(x^3))(1-\frac12x^2+o(x^3))^{-1}=(x-\frac16x^3+o(x^3))(1+\frac12x^2+o(x^3))=x-\frac16x^3+\frac12x^3+o(x^3)=x+\frac13x^3+o(x^3)$$

Answer 3

Creo que tu derivación es correcta. Por favor, consulte este post anterior para más información :)

Answer 4

Para una derivación alternativa, puede utilizar la desigualdad Shafer-Fink y calcular la función inversa de una función algebraica. Se obtiene $$ \tan(x) \approx \frac{3x+2x\sqrt{9-3x^2}}{9-4x^2}\quad\text{for }x\approx0 $$ que es incluso más preciso que $\tan x\approx \frac{x}{1-x^2/3}$ . Como ya se ha demostrado, la última aproximación puede derivarse de aproximantes de Padé o generalizados fracciones continuas .