Distribución uniforme, como suma de ensayos Bernoulli sesgados.

Question

Supongamos que la probabilidad de $x=0$ es $p$ y la probabilidad de $x=1$ es $1-p=q$ . Consideremos la secuencia aleatoria $X=\{X_i\}_{i=1}^{\infty}$ . Mapeamos esta secuencia mediante $C$ a un punto del intervalo $[0,1]$ como a continuación:

$1)$ nos fijamos en la primera variable aleatoria. Si es $0$ entonces actualizamos el intervalo a $I_1=[0,p)$ si no, actualícelo a $I_1=[p,1)$ .

$2)$ Sea $I_k=[a,b)$ . Mira el $(k+1)^{th}$ variable aleatoria. si es $0$ entonces actualizamos el intervalo a $I_{k+1}=[a,a+p(b-a))$ si no, lo actualizamos a $I_{k+1}=[b-q(b-a),b)$ .

y continuamos este proceso hasta que llegamos a un punto en el que la longitud del proceso aleatorio llega a infinito. Por ejemplo, si el primer $2$ variables aleatorias son $01$ entonces tenemos:

$I_1=[0,p)$

$I_2=[p-qp,p)$ .

Encuentre el pdf de $C(X)$ .

Answer 1

Intuitivamente, observamos que la probabilidad de $C(X)$ estar dentro de un intervalo (por ejemplo $[p,1)$ ) es proporcional a la longitud del intervalo.

Observe que $C(X)$ no está bien definido para $p=0,1$ . Supongamos $0<p<1$ . Definir nuevas variables aleatorias $Y_{i}=p(1-X_{i})+qX_{i}$ . Entonces $Y_{i}=p$ con probabilidad $p$ y $Y_{i}=q$ con probabilidad $q$ .

Observe que $C(X)$ también puede escribirse como $$\begin{eqnarray} C(X)=pX_{1}+p\sum_{k=2}^{\infty}\prod_{i=1}^{k-1}X_{k}Y_{i}. \end{eqnarray}$$

Básicamente $\prod_{i=1}^{k-1}Y_{i}$ mide la longitud de los intervalos en $(k-1)th$ paso. Si $p=\frac{1}{2}$ entonces $\prod_{i=1}^{k-1}Y_{i}=\frac{1}{2^{k-1}}$ de lo contrario, depende de la posición de los intervalos y de la anterior $X_{i}$ s.

Ahora elijamos una $x\in[0,1]$ . Existe una secuencia única de números $\{x_{i}\}$ tal que $$\begin{eqnarray} x=px_{1}+p\sum_{k=1}^{\infty}\prod_{i=1}^{k-1}x_{k}y_{i}, \end{eqnarray}$$ donde $x_{i}\in\{0,1\}$ y $y_{i}=p(1-x_{i})+qx_{i}$ para todos $i$ . Queremos encontrar $\mathbb{P}(C(X)\leq x)$ .

Sea $s=\{s_{i}\}$ sea una secuencia de números de $\{0,1\}$ y $k$ sea la primera posición en la que $s$ difiere de $x$ . En otras palabras, $s_{i}=x_{i}$ para todos $1\leq i< k$ y $s_{k}\neq x_{k}$ . Obsérvese que tenemos $C(s)\leq x$ sólo si $s_{k}\leq x_{k}$ . Pero si $x_{k}=0$ entonces $s_{k}\leq x_{k}$ implica que $s_{k}=0$ es decir, $s_{k}=x_{k}$ . En otras palabras, $s_{k}$ no puede diferir de $x_{k}$ si $x_{k}=0$ . Así que la única posibilidad es $x_{k}=1$ y $s_{k}=0$ . Por lo tanto $$\begin{eqnarray} \mathbb{P}(C(X)\leq x)&=&\sum_{k: x_{k}=1}\mathbb{P}(X_{i}=x_{i}\;\forall\;1\leq i\leq k-1, X_{k}\neq x_{k})\\ &=&px_{1}+p\sum_{k=1}^{\infty}\prod_{i=1}^{k-1}x_{k}y_{i}\\ &=&x. \end{eqnarray}$$ En consecuencia $C(X)\sim U[0,1]$ .

Answer 2

En el $n$ paso, $I_n=J$ donde $J$ es uno de $2^n$ intervalos disjuntos cuya unión es $(0,1)$ . Cada uno de estos intervalos $J$ tiene longitud $p^kq^{n-k}$ para algunos $0\leqslant k\leqslant n$ y la probabilidad de que $I_n=J$ es $p^kq^{n-k}$ . Esto es válido para cada $n$ de ahí $C(X)$ se distribuye uniformemente en $(0,1)$ .