¿Cómo probar la definición positiva de esta matriz?

Question

Tengo esta matriz $$ C = \ left (\begin{array}{c|c} A+\alpha I_m & -A-\alpha I_m \\ \hline -A-\alpha I_m & A+\alpha I_m \end {array} \ right) \\ A = \ left (\begin{array}{cccc} (y_1,y_1) &(y_2,y_1)& \cdots&(y_m,y_1) \\ (y_1,y_2) &(y_2,y_2)&\cdots&(y_m,y_2) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (y_1,y_m) &(y_2,y_m)&\cdots&(y_m,y_m) \\ \end {array} \ right) $$ donde$y_i\in L^2(\Omega)$ para todos $i=1,\dots,m$,$\alpha\geq 0$ y$(\cdot,\cdot)$ denotan el producto interno en$L^2(\Omega)$ con$\Omega\subset\mathbb{R}^2$. Me gustaría probar que esta matriz es Positiva-definida, ¿alguna sugerencia?

Answer 1

Desde $A$ es un Gramo de la matriz, $A$ es positivo semidefinite, por lo $A+\alpha I$ es positivo semidefinite para $\alpha \ge 0$.

Entonces, para cualquier vector $w = \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{2m}$ (donde $x,y \in \mathbb{R}^m$) tenemos

$w^TCw$ $= \begin{bmatrix}x^T & y^T\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A+\alpha I & -A-\alpha I \\ -A-\alpha I & A+\alpha I\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$

$= x^T(A+\alpha I)x - x^T(A+\alpha I)y - y^T(A+\alpha I)x + y^T(A+\alpha I)y$

$= x^T(A+\alpha I)(x-y) - y^T(A+\alpha I)(x-y)$ $= (x-y)^T(A+\alpha I)(x-y) \ge 0$,

donde hemos utilizado el hecho de que $A+\alpha I$ es positivo semidefinite.

Desde $w^TCw \ge 0$ todos los $w \in \mathbb{R}^{2m}$ $C$ es simétrica, tenemos que $C$ es positivo semidefinite.

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Tenga en cuenta que para cualquier $x \in \mathbb{R}^m$, el vector $w = \begin{bmatrix}x\\x\end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{2m}$ satisface $w^TCw = 0$.

Por lo tanto, $m$ autovalores de a $C$ son cero. Por eso, $C$ no es positiva definida.

Answer 2

Un enfoque es notar que $$ C = \ pmatrix {1 & -1 \\ - 1 & 1} \ otimes (A + \ alpha I) $$ donde$\otimes$ denota el producto Kronecker. A partir de ahí, basta con señalar que el producto Kronecker de matrices semidefinidas positivas es positivo semidefinido.